Préparer sa kholle : Fonctions intégrables
L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Convergence d'intégrales impropres - avec paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur du paramètre $\alpha\in\mathbb R$, la convergence des intégrales impropres suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}&&\displaystyle \mathbf2.\ \int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}-1}{t^\alpha}dt\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \int_0^{+\infty}\frac{t-\sin t}{t^\alpha}dt&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}\frac{\arctan t}{t^\alpha}dt
\end{array}$$
L'exercice standard
Enoncé
Soient $0<a<b$.
- Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$.
- Soient $0<x<y$. Démontrer que $$\int_x^y \frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}tdt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt.$$
- Démontrer que, pour tout réel $z>0$, $$e^{-bz}\ln\frac ba\leq\int_{az}^{bz}\frac{e^{-t}}tdt\leq e^{-az}\ln\frac ba.$$
- En déduire que $$\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\ln\frac ba.$$
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - $\big(\arctan(2x)-\arctan(x)\big)/x$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\arctan(2x)-\arctan(x)}xdx$.
Intégrales généralisées et fonctions intégrales