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Bonjour,

Il y a un calcul de séries que je n'arrive pas à faire, c'est celui de la question 3.a dans cet exercice :

Exercice

J'ai beau essayé de faire une décomposition en éléments simples je n'arrive vraiment pas à mener le calcul.

Merci d'avance de votre aide.

Bonjour,

Suite au calcul des racines d'un polynôme de Tchebychev, on détermine la valeur du produit de k allant de 0 à n-1 de cos[ (2k+1)pi/2n].

On évalue donc Tn en 0 et on obtient [tex]2^{n-1} * (-1)^n *[/tex]produit des cos = cos(npi/2)

Le prof détermine donc la valeur de cos(npi/2) en fonction de n puis en déduit celle du produit des cos (lien ci dessous)

https://www.cjoint.com/c/MBnomzjen5s

Ce que je ne comprends pas est pourquoi n'a t il pas pris compte de la multiplication par (-1)^n ? On ne devrait pas plutôt avoir (-1)^(3n/2) si n pair pour la valeur finale ?

Bonjour,

On note S la somme de la série de fonctions de terme général fn telle que pour tout x appartenant à [tex]]0, +\infty[, fn(x) = {x \over n^{\alpha}(1+ nx^2)}[/tex]

On a précédemment montré que si alpha est inférieur à 1/2 alors S est continue sur ]0,+inf[. On a également montré que dans le cas où alpha = 1/2, lim S(x) quand x tend vers 0+ est égal à [tex]\pi[/tex] mais que S(0) = 0 donc S n'est pas continue en 0.

On demande d'en déduire que si alpha est strictement inférieur à 1/2 alors S n'est pas continue en 0.

Je suppose par l'absurde que S est continue en 0, alors S est continue sur ]0, +inf[ et puisque tous les fn sont continues sur cet intervalle alors la deuxième hypothèse du théorème de continuité est également vérifiée i.e la série de terme général fn converge uniformément sur [0,+inf[.

Mais je ne vois pas comment obtenir de contradiction à partir de celà.

Bonjour,

Je souhaite montrer la convergence simple de la série de fonctions ci contre sur [0,+inf [ , [tex]\Sigma {x \over n^{\alpha}(1+nx^2)}[/tex]

J'étudie donc la convergence simple sur tout segment [a,b] de cet intervalle. Je trouve ainsi que pour tout x appartenant à [a,b] [tex]fn(x) <={ b\over n^{\alpha + 1}*a^2 }[/tex]

Mais mon a peut valoir 0 non ?

Donc est ce que je peux dire ici a != 0 et traiter à part le cas a = 0 avec un intervalle où je choisis b ? Comme sur [0,1] ?

Bonsoir,

Je suis à la question 7, pour démontrer que N est diagonalisable, je vais montrer qu'il existe une base B' = (x1, ..., xn) de [tex]M_2n,1(C)[/tex] formée de vecteurs propres de N. En utilisant le résultat de la question 6, je construire une famille de 2n vecteurs de vecteurs propres de N.

Je bloque en voulant montrer sa liberté. En fixant 2n scalaires telle que la somme des 2n vecteurs est nulle, j'arrive à deux équations, pour tout i appartenant [|1,n|], [tex]\lambda_i + \lambda_{n+i} = 0[/tex] et [tex] \mu (\lambda_i - \lambda_{n+i} ) = 0 [/tex]

Mais je ne vois pas comment prouver que mu est différent de 0, puisqu'une valeur propre peut être nulle.

Merci de votre aide.