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Amine542

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Convergence simple d'une série de fonctions

Bonjour,

Je souhaite montrer la convergence simple de la série de fonctions ci contre sur [0,+inf [ , [tex]\Sigma {x \over n^{\alpha}(1+nx^2)}[/tex]

J'étudie donc la convergence simple sur tout segment [a,b] de cet intervalle. Je trouve ainsi que pour tout x appartenant à [a,b] [tex]fn(x) <={ b\over n^{\alpha + 1}*a^2 }[/tex]

Mais mon a peut valoir 0 non ?

Donc est ce que je peux dire ici a != 0 et traiter à part le cas a = 0 avec un intervalle où je choisis b ? Comme sur [0,1] ?

Zebulor

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Re : Convergence simple d'une série de fonctions

Bonjour,
tu peux déjà voir que la fonction $f_n$ est continue sur l'intervalle des réels positifs. Pour le reste, je comprends ta démarche, même si je procèderais autrement : tu peux voir que le signe de $f_n$ est constant (toujours sur $\mathbb R^{+}$), dès lors ton exercice se ramène probablement à la comparaison d'une série de Riemann.
Je distinguerais deux cas :
1) $x=0$ et tu peux conclure directement.
2) $x$ différent de 0. Tu peux alors trouver un équivalent du dénominateur de $f_n(x)$ puis $f_n(x)$ elle même quand $n$ tend vers l'infini.
Finalement tu peux conclure suivant $\alpha$

Dernière modification par Zebulor (08-01-2023 11:48:07)

Michel Coste

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Re : Convergence simple d'une série de fonctions

Bonjour,
Tu peux regarder ce qui se passe pour [tex]x=0[/tex] (facile !), puis ce qui se passe pour n'importe quel [tex]x>0[/tex].
Convergence simple veut dire que pour tout [tex]x\geq 0[/tex], la série numérique converge.

PS. La continuité n'a rien à faire ici.

Dernière modification par Michel Coste (08-01-2023 11:46:30)

Zebulor

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Re : Convergence simple d'une série de fonctions

re,

PS. La continuité n'a rien à faire ici.

Exact. Du moins pas pour cette question de la convergence simple

Dernière modification par Zebulor (08-01-2023 14:45:50)

Amine542

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Re : Convergence simple d'une série de fonctions

Merci beaucoup ! La disjonction de cas rend le problème bien plus simple en effet ^^

Bonne journée !