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Amine542

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Continuité de la somme d'une série

Bonjour,

On note S la somme de la série de fonctions de terme général fn telle que pour tout x appartenant à [tex]]0, +\infty[, fn(x) = {x \over n^{\alpha}(1+ nx^2)}[/tex]

On a précédemment montré que si alpha est inférieur à 1/2 alors S est continue sur ]0,+inf[. On a également montré que dans le cas où alpha = 1/2, lim S(x) quand x tend vers 0+ est égal à [tex]\pi[/tex] mais que S(0) = 0 donc S n'est pas continue en 0.

On demande d'en déduire que si alpha est strictement inférieur à 1/2 alors S n'est pas continue en 0.

Je suppose par l'absurde que S est continue en 0, alors S est continue sur ]0, +inf[ et puisque tous les fn sont continues sur cet intervalle alors la deuxième hypothèse du théorème de continuité est également vérifiée i.e la série de terme général fn converge uniformément sur [0,+inf[.

Mais je ne vois pas comment obtenir de contradiction à partir de celà.

Dernière modification par Amine542 (08-01-2023 16:22:29)

Fred

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Re : Continuité de la somme d'une série

Bonsoir,

  Si tu notes $S_\alpha$ la somme correspond à $\alpha$, tu peux démontrer une inégalité entre $S_\alpha(x)$ et $S_{1/2}(x)$
si $\alpha<1/2.$

F.

Amine542

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Re : Continuité de la somme d'une série

D'accord je vais essayer ça, merci beaucoup !