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Amine542

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Démo du théorème de Cayley-Hamilton

Bonjour,

On désigne par u un endomorphisme de K^n, F un sous espace vectoriel stable par u et non réduit au vecteur nul, v l'endomorphisme induit par u sur F.

On souhaite démontrer que le polynôme caractéristique de v divise celui de u, j'ai donc utilisé la propriété disant que le spectre de v était inclus dans celui de u, est-ce correct?

Merci d'avance de votre réponse.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Démo du théorème de Cayley-Hamilton

Bonjour,

  Oui, le spectre de $v$ est bien contenu dans le spectre de $u$.

F.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 473

Re : Démo du théorème de Cayley-Hamilton

Bonjour,
Ceci ne suffit pas comme argument. Déjà le polynôme caractéristique n'est pas forcément scindé (il faudrait passer à un corps algébriquement clos pour en être sûr), et surtout il faudrait tenir compte des multiplicités des racines du polynôme caractéristique.
Le mieux il me semble est de considérer la matrice [tex]M[/tex] de [tex]u[/tex] dans une base [tex]\mathcal B[/tex] de [tex]K^n[/tex] obtenue en complétant une base [tex]\mathcal C[/tex] de [tex]F[/tex], et de revenir à la définition du polynôme caractéristique de [tex]u[/tex] comme déterminant de [tex]XI_n-M[/tex]. On utilise alors la forme particulière de la matrice [tex]M[/tex].