Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Je suis en train de travailler sur l'exercice suivant et la dernière question me pose problème :

Pour [tex]\lambda \in R [/tex] tel que |[tex]\lambda [/tex]| ≠ 1, on pose I([tex]\lambda [/tex]) = [tex]\int_0^2\pi\,\ln\lambda ^2 - 2\lambda\cosx + 1) \, \dx \[/tex].

Dans la première question, on montre que l'intégrande est bien continue en étudiant un polynôme en [tex]\lambda[/tex].
Dans la deuxième, on exprime I(1/[tex]\lambda[/tex]) en fonction de I([tex]\lambda[/tex]).
Dans la troisième on prouve par récurrence que pour tout n non nul, I([tex]\lambda ^n[/tex]) = n * I([tex]\lambda[/tex])
Dans la quatrième on montre que [tex]\lim_{\lambda\to 0} I(\lambda)[/tex] = 0 (j'ai utilisé l'inégalité triangulaire et une inégalité de concavité).
La dernière me pose souci : il s'agit de calculer I([tex]\lambda[/tex]) en fonction de [tex]\lambda[/tex] en distinguant les cas suivant si sa valeur absolue est inférieure strictement ou supérieure strictement à 1.

Auriez-vous des pistes ?

Merci d'avance.

Bonjour,

Je travaille sur un exercice sur lequel j'ai toutes les idées, mais certaines astuces calculatoires (qui doivent être relativement simple, j'en conviens...) m'empêchent de conclure.

La q1 me demande de démontrer pour tout t positif : t - t^2 < ln(1+t) < t (OK)

Q2 : déterminer, avec f continue et positive, la limite du produit de 1 à n de 1 + 1/n f(k/n).
Je passe au logarithme pour avoir la somme des ln(1 + somme de Riemann), que j'encadre avec la Q1 avec la somme de Riemann pour t.
Le côté droit tend bien vers l'intégrale entre 0 et 1, par définition, mais je n'arrive pas à le formaliser pour l'autre côté... Je sens bien qu'il faut utiliser l'identité remarquable, mais je tourne en rond (c'est vraiment purement calculatoire...).

Merci d'avance de votre aide !

Bonjour,

Je cherche à déterminer un équivalent asymptotique simple de la somme pour k de 0 à n des factorielles de k.
J'ai voulu utiliser le théorème de sommation des relations de comparaison avec la formule de Stirling, mais je me retrouve avec une somme assez compliquée à calculer (pas un équivalent simple donc...).
Suis-je dans la bonne direction, ou auriez-vous une autre piste à proposer ?

Merci d'avance.

Bonjour,

Je cherche à rédiger la réciproque de la caractérisation séquentielle de la continuité uniforme, à savoir que si pour toutes suites (xn) et (yn) d'éléments de I (partie de R que l'on étudie), lim(xn-yn) = 0 => lim(f(xn)-f(yn)) = 0, alors f est uniformément continue (uc).

Je raisonne par contraposée et j'ai de légers doutes sur la rigueur de certaines étapes que j'aimerais éclaircir (toutes mes inégalités sont larges, je n'écris pas <= et >= pour alléger mes notations) :

La négation de l'uc fournit epsilon tel que pour tout delta, il existe x,x' tels que abs(x-x') < delta et abs(f(x)-f(x')) > epsilon.
On prend delta > 0.
Cela fournit x et x' tels que... (cf ci-dessus).
Premier doute : je construis des suites (xn) et (yn) telles que lim xn = x et lim yn = x' en utilisant comme argument la densité de I dans R : cet argument est-il nécessaire ?
J'utilise ensuite la définition de la limite qui fournit n0 et n1 tels que pout tout n > n0, abs(x-xn) < delta, idem pour yn avec n1.
Je prend n > max(n0,n1)
Second doute : Je transforme les valeurs absolues en inégalités : x - delta < xn < x + delta (1) et x' - delta < yn < x' + delta (2), et alors (1)-(2) me dit que xn - yn = x - x'. Cela me permet d'utiliser notre hypothèse et de conclure la preuve, mais j'ai des doutes concernant la rigueur de cette différence...

Merci d'avance d'éclairer ma lanterne !