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Firewalkwithme

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Matrice non inversible

Bonjour,

L'exercice suivant me pose quelques difficultés, bien que son énoncé soit assez simple :
Soient n entier naturel non nul, A € Mn(C) tels que : A^3 + A = A^2 + A = 0. Montrer qu A n'est pas inversible.

La matrice étant à coefficients complexes, j'ai pensé à écrire A^3 + A = A x (A + iIn) x (A - iIn), mais je n'arrive pas à aller au-delà, l'anneau matriciel n'étant naturellement pas intègre.
L'utilisation de l'associativité du produit matriciel et le passage au conjugué me semblent des pistes intéressantes mais je n'arrive pas à les faire aboutir.
On peut remarquer un cas trivial pour le cas A = 0, mais je ne suis pas sûr qu'il soit nécessaire de le distinguer.
Auriez-vous une aide à me proposer ?

Merci d'avance

LCTD

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Re : Matrice non inversible

Bonjour,

essayez par l'absurde en supposant que A est inversible.

Dernière modification par LCTD (03-08-2022 12:54:38)

Gui82

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Re : Matrice non inversible

Bonjour,

Par l'absurde, l'une des égalités doit te donner une information simple sur A, qui doit aboutir à une contradiction dans l'autre égalité.

Firewalkwithme

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Re : Matrice non inversible

Bonjour,

Merci pour vos réponses, on trouve en raisonnant par l'absurde que A = 0, contradiction car la matrice nulle n'est pas inversible.
Je ne vois pas pourquoi il faut, dans ce cas, que la matrice soit à coefficients complexes ? Cela marcherait tout aussi bien dans un autre corps ?

Merci

Gui82

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Re : Matrice non inversible

Non, on n'a pas A=0.
Et ça marche avec n'importe quel corps de caractéristique différente de 2.

LCTD

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Re : Matrice non inversible

je suis d'accord avec Guil82, on n'a pas A=0 et et c'est vrai  avec n'importe quel corps de caractéristique différente de 2.

Firewalkwithme

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Re : Matrice non inversible

Bonjour,

En effet, j'avais commis une erreur de raisonnement. On trouve A = -In avec la deuxième égalité, et la première aboutit à -2In = 0 (d'où le fait que ça ne fonctionne pas en caractéristique 2).

Merci encore !