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Firewalkwithme

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Une intégrale

Bonsoir,

Je suis en train de travailler sur l'exercice suivant et la dernière question me pose problème :

Pour [tex]\lambda \in R [/tex] tel que |[tex]\lambda [/tex]| ≠ 1, on pose I([tex]\lambda [/tex]) = [tex]\int_0^2\pi\,\ln\lambda ^2 - 2\lambda\cosx + 1) \, \dx \[/tex].

Dans la première question, on montre que l'intégrande est bien continue en étudiant un polynôme en [tex]\lambda[/tex].
Dans la deuxième, on exprime I(1/[tex]\lambda[/tex]) en fonction de I([tex]\lambda[/tex]).
Dans la troisième on prouve par récurrence que pour tout n non nul, I([tex]\lambda ^n[/tex]) = n * I([tex]\lambda[/tex])
Dans la quatrième on montre que [tex]\lim_{\lambda\to 0} I(\lambda)[/tex] = 0 (j'ai utilisé l'inégalité triangulaire et une inégalité de concavité).
La dernière me pose souci : il s'agit de calculer I([tex]\lambda[/tex]) en fonction de [tex]\lambda[/tex] en distinguant les cas suivant si sa valeur absolue est inférieure strictement ou supérieure strictement à 1.

Auriez-vous des pistes ?

Merci d'avance.

Dernière modification par Firewalkwithme (10-12-2022 21:36:23)

Zebulor

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Re : Une intégrale

Bonsoir,

je me permets de rectifier pour la  lisibilité :

Je suis en train de travailler sur l'exercice suivant et la dernière question me pose problème :

Pour [tex]\lambda \in R [/tex] tel que |[tex]\lambda [/tex]| ≠ 1, on pose $I(n \lambda) = \int_{0}^{2\pi}\,\ln(\lambda^2 - 2\lambda cos(x)+1)\, dx\,$

Dans la première question, on montre que l'intégrande est bien continue en étudiant un polynôme en [tex]\lambda[/tex].
Dans la deuxième, on exprime I(1/[tex]\lambda[/tex]) en fonction de I([tex]\lambda[/tex]).
Dans la troisième on prouve par récurrence que pour tout n non nul, I([tex]\lambda ^n[/tex]) = n * I([tex]\lambda[/tex])
Dans la quatrième on montre que [tex]\lim_{\lambda\to 0} I(\lambda)[/tex] = 0 (j'ai utilisé l'inégalité triangulaire et une inégalité de concavité).
La dernière me pose souci : il s'agit de calculer I([tex]\lambda[/tex]) en fonction de [tex]\lambda[/tex] en distinguant les cas suivant si sa valeur absolue est inférieure strictement ou supérieure strictement à 1.

Auriez-vous des pistes ?

Merci d'avance

Dernière modification par Zebulor (10-12-2022 23:02:21)

Glozi

Invité

Re : Une intégrale

Bonsoir,
Je n'ai pas vérifié les réponses précédentes, mais si $I(\lambda)\to 0$ lorsque $\lambda\to 0$, alors soit$|\lambda|<1$, on a $I(\lambda^n) \to 0$ lorsque $n\to \infty$. Cependant on sait que $I(\lambda^n) = nI(\lambda)$. Par conséquent $nI(\lambda)\to 0$ lorsque $n\to \infty$, cela n'est possible que pour une certaine valeur de $I(\lambda)$... Puisque que tu connais un lien entre $I(\lambda)$ et $I(1/\lambda)$ tu peux transmettre ce que tu as appris pour les $|\lambda|<1$ aux $|\lambda|>1$.
Bonne soirée

Firewalkwithme

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Re : Une intégrale

Bonjour,

Merci pour la correction et désolé pour ma maîtrise approximative de la syntaxe LaTex...

Merci pour les éléments de réponse.
Pour la limite de I([tex]\lambda^n[/tex]), cela se fait bien par une convergence uniforme ?
Et donc I([tex]\lambda[/tex]) = 0 pour tous les |λ|<1.

Dernière modification par Firewalkwithme (11-12-2022 10:44:01)

Glozi

Invité

Re : Une intégrale

Bonjour,
Si tu sais que $I(y)\to0$ lorsque $y\to 0$ alors puisque $\lambda^n \to 0$ lorsque $n\to \infty$ (car $|\lambda|<1$) c'est direct que $I(\lambda^n)\to 0$ (caractérisation séquentielle de la limite).
Si ta question c'est pourquoi $I(\lambda)\to 0$ lorsque $\lambda \to 0$, j'aurais pensé au théorème de convergence dominée. Si tu ne l'as pas encore vu alors il faudrait que j'y réfléchisse un peu plus, mais on peut certainement utiliser $\ln(1+x) \sim x$ au voisinage de $0$ avec des inégalités quantitatives.
Bonne journée

Firewalkwithme

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Re : Une intégrale

Bonjour,

Merci pour cette réponse... En effet, on est toujours tenté d'utiliser des théorèmes bien compliqués alors que oui, c'est juste la caractérisation séquentielle.
Je n'ai pas encore le théorème de convergence dominée, mais pour ce point j'ai majoré l'intégrale en module, utilisé ln(1+x) <= x (concavité), puis majoré le cos en module, calculé l'intégrale et utilisé les gendarmes.

Merci et bonne journée