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Firewalkwithme

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Continuité uniforme : caractérisation séquentielle

Bonjour,

Je cherche à rédiger la réciproque de la caractérisation séquentielle de la continuité uniforme, à savoir que si pour toutes suites (xn) et (yn) d'éléments de I (partie de R que l'on étudie), lim(xn-yn) = 0 => lim(f(xn)-f(yn)) = 0, alors f est uniformément continue (uc).

Je raisonne par contraposée et j'ai de légers doutes sur la rigueur de certaines étapes que j'aimerais éclaircir (toutes mes inégalités sont larges, je n'écris pas <= et >= pour alléger mes notations) :

La négation de l'uc fournit epsilon tel que pour tout delta, il existe x,x' tels que abs(x-x') < delta et abs(f(x)-f(x')) > epsilon.
On prend delta > 0.
Cela fournit x et x' tels que... (cf ci-dessus).
Premier doute : je construis des suites (xn) et (yn) telles que lim xn = x et lim yn = x' en utilisant comme argument la densité de I dans R : cet argument est-il nécessaire ?
J'utilise ensuite la définition de la limite qui fournit n0 et n1 tels que pout tout n > n0, abs(x-xn) < delta, idem pour yn avec n1.
Je prend n > max(n0,n1)
Second doute : Je transforme les valeurs absolues en inégalités : x - delta < xn < x + delta (1) et x' - delta < yn < x' + delta (2), et alors (1)-(2) me dit que xn - yn = x - x'. Cela me permet d'utiliser notre hypothèse et de conclure la preuve, mais j'ai des doutes concernant la rigueur de cette différence...

Merci d'avance d'éclairer ma lanterne !

Fred

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Re : Continuité uniforme : caractérisation séquentielle

Bonjour,

  Première chose : avec la façon dont tu as rédigé, je ne vois pas où tu construis les suites????
Deuxième chose : qui est delta???? Peut-être faudrait-il lui donner une valeur explicite
Troisième chose : je n'y comprends rien à ton argument de densité, mais dans tes hypothèses, rien ne dit que I est dense dans R, et d'ailleurs, on peut démontrer le résultat si I=[1,2] qui est très loin d'être dense dans R.

F.

Firewalkwithme

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Re : Continuité uniforme : caractérisation séquentielle

Bonjour, merci pour cette réponse.

Concernant delta, je le prend > 0 seulement, la négation de l'uc étant (si je ne me suis pas trompé) : il existe epsilon > 0 tel que, pour tout delta > 0, il existe x,x' dans I tels que [ abs(x - x') < delta et abs(f(x) - f(x')) > epsilon ]. A défaut quelle serait la valeur particulière ?

Concernant la densité, effectivement, ça ne marche pas et c'est très faux. Peut-on alors justifier l'existence de ces suites en utilisant seulement un argument d'adhérence de x et x' dans I ?

Merci.

Dernière modification par Firewalkwithme (13-08-2022 13:45:30)