Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Firewalkwithme

Membre

Inscription : 02-08-2022

Messages : 19

Une somme de sev

Bonjour,

Je cherche à démontrer le résultat suivant :
Soient E = R^R, F1 l'ensemble des fonctions bornées de E, F2 l'ensemble des fonctions f de E telles que f(0)=0. Montrer que E = F1 + F2.
Je procède par analyse-synthèse, j'ai pensé à utiliser la majoration de la valeur absolue comme définition pour une fonction bornée, mais je n'arrive pas à aller au-delà dans la formalisation de la preuve... Auriez-vous une indication ?

(La question suivante demande si ces sev sont supplémentaires. C'est faux, car l'intersection n'est pas triviale : il y a aussi, notamment, la fonction sin.)

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Une somme de sev

Bonjour

  Voici un indice : tu peux choisir dans ta décomposition une fonction de F1 qui est constante (facile de déterminer quelle doit être la valeur de cette constante(.

F

Firewalkwithme

Membre

Inscription : 02-08-2022

Messages : 19

Re : Une somme de sev

Bonjour, merci pour cette réponse.

On trouve alors immédiatement que cette constante est égale à f(0).
La fonction de F2 est alors f - f(0), ce qui achève l'analyse.

Merci encore !

Dernière modification par Firewalkwithme (02-08-2022 21:15:14)