Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 Re : Entraide (supérieur) » Exercice projection Hilbert » 08-01-2023 18:26:00
Si j'ai bien compri donc pour obtenir a je dois calculer $\langle \lambda a - f, a \rangle = 0$ mais j'obtiens encore quelque chose qui est en fonction de $\lambda$
#2 Entraide (supérieur) » Exercice projection Hilbert » 08-01-2023 13:21:02
- aimes
- Réponses : 3
Bonjour,
J'ai un problème de projection que je n'arrive vraiment pas à résoudre.
Soit [tex]H[/tex] un espace de Hilbert et soit [tex]a \in H[/tex].
On pose [tex]K_a=\{f\in H; \langle f,a \rangle \geq0\}[/tex]
1. Montrer que [tex]K_a[/tex] est convexe et fermé dans H.
2. On suppose que [tex]f \notin K_a[/tex] et on pose [tex]\bar f = P_{{\{a\}}\perp}(f)[/tex].
a) Montrer que [tex]f-\bar f=\lambda a[/tex] avec [tex]\lambda <0[/tex]
b) En déduire que, si [tex]f\notin K_a[/tex] alors [tex]P_{K_a}(f)=P_{{\{a\}}\perp}(f)[/tex]
3. Déterminer l'expression de [tex]P_{K_a}(f)[/tex] pour tout [tex]f\in H[/tex], en fonction de [tex]f[/tex] et de [tex]a[/tex].
4. On considère le problème de minimisation suivant
[tex]\underset{\{ f\in L^{2}(-1,1); \int_{-1}^{1}xf(x)dx \geq0 \}}{inf} \int_{-1}^{1}(x^2+x-1-f(x))^2dx[/tex]
a) Trouver l'espace de Hilbert H (ainsi que son produit scalaire associé) et ke vecteur a permettant de se ramener aux questions précédente
Je bloque à la question 3. Je comprends pas comment exprimer le projeté de f sur a et la question 4.a;
Merci de l'attention.
#3 Entraide (supérieur) » donner les ensembles où deux v.a. prennent leurs valeurs » 05-05-2022 16:49:53
- aimes
- Réponses : 1
Bonjour:)
Soit [tex]X_1,X_2,...,X_n[/tex] une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, ayant une densité commune donnée par [tex]f(x)=2(1-x) \mathbf{1}_{0\leq x\leq1}[/tex].
Soit [tex]M_n=max(X_1,..., X_n), n\geq1[/tex] et [tex]T_n=\sqrt{n}(1-M_n)[/tex]
Justifier que [tex]M_n[/tex] et [tex]T_n[/tex] sont des variables aléatoires et donner les ensembles où celles ci prends leurs valeurs.
Pour la première partie de la question j'ai simplement dit que [tex]M_n[/tex] est un v.a car max d'un ensemble de variables aléatoires est une variable aléatoire et $T_n$ est une v.a. car transformation d'une variable aléatoire. Est-ce suffisant comme justification?
Comment j'obtiens les ensembles où elles prennent leurs valeurs?
#4 Re : Entraide (supérieur) » limite de la suite avec LGN » 03-05-2022 21:41:00
Oui j'ai fait pas mal de fautes de distraction <.<, j'ai corrigé l'énoncé merci.
[tex]ln(Y_n)=ln(m^n)=nln(m)[/tex] donc [tex]\frac{1}{n}ln(Y_n)=ln(m)[/tex]
Par contre j'ai un problème. Si c'est le bon résultat, après par concavité de ln on a que [tex]{\mathbb E}[ln(X)]<ln{\mathbb E}[X][/tex], en appliquant ce résultat on obtient que [tex]ln(m)<ln(m)[/tex]. On est dans un cas particulier?
#5 Re : Entraide (supérieur) » limite de la suite avec LGN » 03-05-2022 18:44:58
Bon, et si tu rapproches ça de la loi forte des grands nombres en utilisant la première question, rien ne vient ?
La seule chose qui me vient à l'esprit est [tex]\frac{ln(Y_n)}{n} \longrightarrow ln(m^n)[/tex] mais je sais par Jensen que c'est faux.
Petit problème : quel sens a [tex]\ln(X_i)[/tex] si [tex]X_i[/tex] prend des valeurs négatives ?
[tex]X_i[/tex] est positive pout [tex]i\in{1, ...., n}[/tex], donc on a pas de problèmes d'application pour le logarithme.
#6 Re : Entraide (supérieur) » limite de la suite avec LGN » 03-05-2022 17:56:33
Bonsoir,
N'aurais-tu pas laissé tomber un "presque sûrement" dans ton énoncé ? Que dit la loi forte des grands nombres ?
Par ailleurs, verrais-tu un rapport entre le [tex]Y_n[/tex] de la première question et le [tex]\sum_{i=1}^n \ln(X_i)[/tex] ?
Oui c'est presque surement merci, la loi forte des grands nombres dit que la moyenne d'une suite de v.a. iid tends presque surement vers l'espérance de ces v.a..
Oui, [tex]\sum_{i=1}^n \ln(X_i)=ln(Yn)[/tex]. Donc la moyenne est aussi égale à [tex]\frac{ln (Y_n)}{n}[/tex].
#7 Entraide (supérieur) » limite de la suite avec LGN » 03-05-2022 16:56:43
- aimes
- Réponses : 7
Bonjour,
Soient [tex]X_1, X_2, ...[/tex] des variables aléatoires réelles i.i.d; à valeurs dans[tex][a, \infty[[/tex] pour [tex]a>0[/tex], telles que [tex]m:=\{\mathbb E\}(X_1)\in]0,\infty[[/tex].
Posons $Y_n=X_1\cdot X_2 \cdot ... \cdot X_n$.
a) Calculer ${\mathbb E}(Y_n)$. Quelle est la lime de ${\mathbb E}(Y_n)$ (en fonction de m)?
b) En appliquant la loi forte des grands nombres à la suite [tex]\ln X_n[/tex] montrer que [tex]\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\ln(X_i) \longrightarrow \varrho[/tex] presque surement et déterminer la valeur de la constante [tex]\varrho[/tex].
J'ai réussi la première question et j'ai obtenu [tex]m^n[/tex] comme résultat. Mais je sais pas comment obtenir [tex]\varrho[/tex] à partir de [tex]{\mathbb E}(\ln X_i)[/tex].
Quelqu'un a une idée?
Merci
#8 Re : Entraide (supérieur) » Montrer que l'esperance est < infini » 02-05-2022 15:58:10
Bonjour,
Tu peux utiliser que $(X-a)^2\leq X^2+2a|X|+a^2$, et chaque terme de droite a une espérance finie.
F.
Merci
#9 Re : Entraide (supérieur) » esperance de Y_n » 01-05-2022 17:09:42
Bonjour,
D'après le théorème de transfert, $E(X^k)=\sum_{x\in X(\Omega)}x^kP(X=x)$
Bonne journéeEliott
Merci beaucoup j'ai compris maintenant!
#10 Entraide (supérieur) » Montrer que l'esperance est < infini » 30-04-2022 15:39:28
- aimes
- Réponses : 2
Bonjour,
Soit [tex]X[/tex] une variable aléatoire telle que [tex]X^2[/tex] intégrable. Rappelons que l'on a [tex]{\mathbb E}(X^2 - \lvert X \rvert)< \infty[/tex] dans ce cas.
1. Montrer que pour tout réel [tex]a \in {\mathbb R},\ {\mathbb E}((X-a)^2)<\infty [/tex]
Je ne comprends pas comment résoudre cette question svp
#11 Re : Entraide (supérieur) » esperance de Y_n » 29-04-2022 22:03:00
Je vois merci :)
Par contre il y a pas des propriétés à appliquer dans le cas d'une puissance dans l’argument de l'espérance? ou c'est trop espérer
#12 Re : Entraide (supérieur) » esperance de Y_n » 29-04-2022 21:52:31
Bonjour,
Tu as défini une suite $(X_n)$. Quel est le rapport avec $X$???
F.
Je crois que c'est pour tout i appartenant à {1, ..., n} [tex]Y_i=\sum_{k=1}^{n}(X_i)^k[/tex]. Mais le prof a du mal taper l'énoncé, parce que il n'a pas spécifié la valeur de X
#13 Entraide (supérieur) » esperance de Y_n » 29-04-2022 17:17:34
- aimes
- Réponses : 6
Bonjour,
J'ai ce problème de stat que je n'arrive pas à résoudre:
Soit [tex]X_n[/tex] une suite de variables aléatoires iid et pour tout n, [tex]X_n[/tex]~[tex]Poiss(a_n)[/tex]. Posons[tex]Y_n=\sum_{k=1}^{n}X^k[/tex].
1. Calculer [tex]{\mathbb E}(Y_n)[/tex] et [tex]{\mathbb V}(Y_n)[/tex]
Mon problème c'est que je sais pas comment traiter l'exposant k.
Merci à l'avance
#14 Re : Entraide (supérieur) » montrer que l'esperance est 1 » 23-04-2022 16:30:21
Bonjour,
Ton énoncé n'est pas très clair.
Le joueur commence avec un euro. Que se passe-t-il ensuite?
* s'il gagne, tu dis qu'il double sa mise : ça veut dire qu'on lui donne deux euros????
* s'il perd, il perd sa mise. Ok.
Comment se passe la répétition des épreuves. Pour moi, tu ne décris qu'une seule épreuve. Est-ce que s'il perd, il ne continuerait pas à jouer en doublant sa mise par hasard????F.
Au début il a juste 1 euro.
S'il lance et c'est pile alors [tex]Y_1=2[/tex]
Après avoir gagné n fois [tex]Y_n=2^n[/tex]
S'il perd, il a perdu tout ce qu'il a gagné donc il a plus rien pour jouer et le jeu se termine.
Pages : 1