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aimes

Invité

montrer que l'esperance est 1

Bonjour (ce n'est pas une option)

Un joueur joue à un jeu de Pile ou Face (avec une pièce équilibrée) de la manière suivante: à chaque fois, il mise sur Pile. Il commence avec un euro. S'il a gagne, il double sa mise, s'il a perdu, il perd sa mise. Soit [tex]Y_n[/tex] son gain au moment [tex]n[/tex]. Montrer que:

[tex]{\mathbb E(Y_n)}=1[/tex]

Mon prof a directement écrit  [tex]{\mathbb E(Y_n)}=2^n(\frac{1}{2^n}[/tex] sans aucune explication et j'arrive pas à comprendre d'où ca vient.

Dernière modification par Fred (23-04-2022 13:42:29)

Fred

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Re : montrer que l'esperance est 1

Bonjour,

  Ton énoncé n'est pas très clair.
Le joueur commence avec un euro. Que se passe-t-il ensuite?
* s'il gagne, tu dis qu'il double sa mise : ça veut dire qu'on lui donne deux euros????
* s'il perd, il perd sa mise. Ok.
Comment se passe la répétition des épreuves. Pour moi, tu ne décris qu'une seule épreuve. Est-ce que s'il perd, il ne continuerait pas à jouer en doublant sa mise par hasard????

F.

aimes

Membre

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Re : montrer que l'esperance est 1

Bonjour,

  Ton énoncé n'est pas très clair.
Le joueur commence avec un euro. Que se passe-t-il ensuite?
* s'il gagne, tu dis qu'il double sa mise : ça veut dire qu'on lui donne deux euros????
* s'il perd, il perd sa mise. Ok.
Comment se passe la répétition des épreuves. Pour moi, tu ne décris qu'une seule épreuve. Est-ce que s'il perd, il ne continuerait pas à jouer en doublant sa mise par hasard????

F.

Au début il a juste 1 euro.
S'il lance et c'est pile alors [tex]Y_1=2[/tex]
Après avoir gagné n fois [tex]Y_n=2^n[/tex]
S'il perd, il a perdu tout ce qu'il a gagné donc il a plus rien pour jouer et le jeu se termine.

bridgslam

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Re : montrer que l'esperance est 1

Bonjour,

l'espérance du gain à l'étape n est  $0.(1/2).(1/2)^{n-1} + 2^n / 2^n$.
En effet son gain à l'étape n est nul à 1 chance sur 2 ( face sort) mais en étant parvenu à cette étape ( donc gagné aux (n-1) précédentes )
et il vaut $2. 2^{n-1} = 2^n$ à l'étape n avec la probabilité 1/2 mais en ayant gagné aux aussi aux n-1 précédentes...

Donc E = 1

A.

Black Jack

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Re : montrer que l'esperance est 1

Bonjour,

C'est une martingale bien connue dans les casinos (où un joueur, à la roulette par exemple, mise à chaque fois sur pair ou impair (donc 1 proba de 1/2 da gagner (ou perdre)).
Si il perd ... sa mise est perdue, si il gagne on lui donne le double de sa mise.

A chaque jeu perdu le joueur mise le double de sa mise au jeu précédent.
Lorsqu'il gagnera (et cela doit finir par arriver ), le joueur récupèrera toutes les mises qu'il a du faire sur les jeux perdus PLUS la mise de départ.

Pour pouvoir faire cela, cela suppose que le joueur dispose au départ d'une très grosse somme (pour faire face à un nombre de jeus perdus d'affilée qui peut être très grand)

Et de plus cette martingale est interdite dans les casinos.
Des observateurs repèrent les joueurs qui tentent de jouer de la sorte ... et ils se font virer du casino.
********

Exemple :

jeu 1 : mise m --> perdu
jeu 2 : mise 2m --> perdu (jusqu'ici, perte de 3m)
jeu 3 : mise 4m --> perdu (jusqu'ici, perte de 7m)
jeu 4 : mise 8m --> perdu (jusqu'ici, perte de 15m)
jeu5 : mise 16m --> gagné : on lui paie donc 32m et il avait misé jusque là : 15m+16m = 31m
Le joueur arrête de jouer ... il repart donc avec un gain de 32m-31m = 1m
Ou bien le joueur recommence en misant une mise M qu'il doublera à chaque perte et ...

Et ceci est vrai quel que soit le rang du jeu où il gagne.
... sauf que dans un casino, il aura toutes les chances d'avoir été viré avant ou bien d'avoir épuisé sa réserve initiale avant le 1er "gagné".

Michel Coste

Membre Expert

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Messages : 1 473

Re : montrer que l'esperance est 1

Bonjour,

Au casino, quand on joue sur pair ou impair, on a moins d'une chance sur 2 de gagner (18/37, précisément).
Ceci implique que quand on applique la martingale de miser 1 à la première partie, de s'arrêter dès qu'on a gagné et de doubler la mise tant qu'on n'a pas gagné en limitant le nombre de parties à un entier [tex]N[/tex], l'espérance de la variable aléatoire "gain" [tex]G_N[/tex] est négative et tend vers [tex]-\infty[/tex] quand [tex]N[/tex] tend vers l'infini.
Et pourtant, l'espérance de la variable aléatoire "gain" [tex]G_\infty[/tex] quand on n'impose pas de limite au nombre de parties est bien égale à 1 !
Paradoxal, n'est-ce pas ?