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aimes

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Exercice projection Hilbert

Bonjour,

J'ai un problème de projection que je n'arrive vraiment pas à résoudre.

Soit [tex]H[/tex] un espace de Hilbert et soit [tex]a \in H[/tex].
On pose [tex]K_a=\{f\in H; \langle f,a \rangle \geq0\}[/tex]

1. Montrer que [tex]K_a[/tex] est convexe et fermé dans H.
2. On suppose que [tex]f \notin K_a[/tex] et on pose [tex]\bar f = P_{{\{a\}}\perp}(f)[/tex].
    a) Montrer que [tex]f-\bar f=\lambda a[/tex] avec [tex]\lambda <0[/tex]
    b) En déduire que, si [tex]f\notin K_a[/tex] alors [tex]P_{K_a}(f)=P_{{\{a\}}\perp}(f)[/tex]
3. Déterminer l'expression de [tex]P_{K_a}(f)[/tex] pour tout [tex]f\in H[/tex], en fonction de [tex]f[/tex] et de [tex]a[/tex].
4. On considère le problème de minimisation suivant
    [tex]\underset{\{ f\in L^{2}(-1,1);  \int_{-1}^{1}xf(x)dx \geq0 \}}{inf} \int_{-1}^{1}(x^2+x-1-f(x))^2dx[/tex]
    a) Trouver l'espace de Hilbert H (ainsi que son produit scalaire associé) et ke vecteur a permettant de se ramener aux questions précédente

Je bloque à la question 3. Je comprends pas comment exprimer le projeté de f sur a et la question 4.a;

Merci de l'attention.

Dernière modification par aimes (08-01-2023 14:12:34)

Glozi

Invité

Re : Exercice projection Hilbert

Bonjour,
Je ne sais pas si tu as l'image en tête de ce qui se passe (faire des dessins). Si $a\neq 0$ est un vecteur de $H$. Alors $\{a\}^\perp$ est un hyperplan de $H$. Typiquement (pense à $H= \mathbb{R}^n$, pour $n=2$ ou $n=3$). Et alors $K_a$ est une "moitié" d'espace dont la frontière serait $\{a\}^\perp$. Ce que je dis n'est pas très précis mais c'est pour avoir une image en tête et pour comprendre ce que font les projetés.

Pour calculer $P_{K_a}(f)$ il faut déjà savoir si $f\in K_a$ ou non. Cela peut se savoir en introduisant des indicatrices du genre : $\mathbb{1}_{\left<f,a\right>\geq 0}$.
Ensuite si $f\not\in K_a$ il suffit par la question 2.b de trouver $P_{a^\perp}(f)$. Je te conseille plutôt de calculer $P_a(f)$ c'est un vecteur qui est proportionnel a $a$ et tel que $P_a(f)-f$ soit orthogonal à $a$ (ce qui permet de trouver la constante de proportionnalité).

Pour la 4)a) Je pense que l'espace de Hilbert à introduire est le bien connu $H=L^2(-1,1)$ muni de sa norme usuelle $\Vert f \Vert_H^2 = \int_{-1}^1 f(x)^2dx$.
On peut alors voir $\int_{-1}^1 (x^2+x-1-f(x))^2dx$ comme le carré d'une distance entre deux vecteurs de $H$.
On peut également voir $\{f\in L^2(-1,1), \int_{-1}^1 xf(x)dx\geq 0\}$ comme un $K_a$ pour un certain $a\in H$.

Bonne journée

aimes

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Re : Exercice projection Hilbert

Si j'ai bien compri donc pour obtenir a je dois calculer $\langle \lambda a - f, a \rangle = 0$ mais j'obtiens encore quelque chose qui est en fonction de $\lambda$

Glozi

Invité

Re : Exercice projection Hilbert

Bonsoir,
Il ne faut pas calculer $a$ car $a$ est une donnée du problème. Ce que je dis c'est que $P_{Vect(a)}(f) = \lambda a$ pour une certaine constante (réelle) $\lambda$ qu'on peut déterminer explicitement en fonction de $a$ et $f$ en utilisant la relation d'orthogonalité que tu mentionnes dans ton message.

Bonne soirée