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Même si on peut simplifier g(x) par x pour obtenir f(x), g n'est pas définie en x=0 car on ne peut pas diviser par 0. La droite de g aura la même allure que la droite de f, sauf qu'en x=0 g a un "trou".

Tant pis, j'essaie encore :
Si on prend C comme corps des scalaires, la base canonique de C^3 est alors {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
Oui ou non ?

La série de Riemann de terme général 1/n^r converge si r>1 et diverge si r=<1.

En remarquant que 1 a un seul diviseur dans N et que tous les autres entiers naturels en ont au moins 2 et en utilisant la série de Riemann on voit que la limite de 1- ne peut pas être minorée :
lim1/n (d(1)+...+d(n)) >= ... >= d(1)/n + 2lim somme (1/n); d(1)/n tend vers 0 quand n tend vers l'infini et la limite de la somme diverge puisque r=1, donc la limite cherchée est bien l'infini.

Pour 2- j'ai un doute : est-ce que la donnée est juste ? Ne serait-ce pas plutôt pour tout r>1 ?

Je pense qu'il faut supposer de plus que X et X' sont indépendantes.
Alors E(X+X') = E(X) + E(X') = m+m' et V(X+X') = V(X) + V(X') = §+§'.
La loi de X+X' est donc N(m+m', §+§').

Exercice 1 : A-B=10^-12 > 0 donc A>B. Comme A<1, on a : A^2<A, racine(A) > A et 1/A > 1>A. Donc C<A, D>A et E>A.

Exercice 2 : celui qui vend x collections par mois gagne :
-avec le contrat A : 480 + 25x
-avec le contrat B : 38x
Si on remplace x par 30 : avec le contrat A on gagne 1230 et avec le contrat B on gagne 1140, donc c'est le contrat A qui est le meilleur.
Si on remplace x par 50 : avec le contrat A on gagne 1730 et avec le contrat B on  gagne 1900, cette fois c'est le contrat B le plus avantageux.

Exercice 3 :
1. Il faut utiliser Pythagore : BC = racine( AC^2 + AB^2 ) = racine(16+4) = racine(20) =racine(4*5) = 2racine(5).
La hauteur h coupe EF en son point milieu qu'on appelle H. Posons 2x la longueur de EF, alors la longueur de HF est x et GHF est un triangle rectangle en H; de plus, comme EFG est équilatéral, la longueur GF est égale à la longueur EF, soit 2x. Avec Pythagore on trouve : 3^2 + x^2 = 4x^2 (càd GH^2 + HF^2 = GF^2) d'où 3x^2=9 d'où x^2=3 doù x=racine(3). Comme EF a la longueur 2x, la réponse cherchée est 2racine(3).

2. Aire de ABC = 4*2/2=4. Aire de EFG = 2racine(3)*3/2 = 3racine(3). On élève les deux aires au carré (juste parce que c'est plus facile de comparer des nombres entiers que des irrationnels; comme on a des nombres positifs, si a^2<b^2 alors a<b) : comme 16<27, on en déduit que l'aire de EFG est plus grande.

3. Périmètre de ABC = 6+2racine(5); périmètre de EFG = 6racine(3). Le périmètre de EFG est plus petit, en utilisant la calculatrice.

Il y a peut-être des fautes de calculs mais il faut faire comme j'ai fait.

2) Il est clair que les triangles ADK et CBI sont semblables car : les angles en D et en B sont droits, les côtés AD et BC, DK et IB sont égaux deux à deux; finalement on en déduit que les deux triangles sont égaux. Donc les angles DKA et BIC sont égaux, ce qui prouve bien que AK et IC sont parallèles.

4) Les deux triangles ont l'angle en D en commun. Comme AK et IC sont parallèles, il est clair que les angles en S et en R sont égaux, de même que les angles en K et en C; les deux triangles sont donc semblables.
Par Thalès on montre que le rapport d'agrandissement est (DR/DS)^2=(DC/DK)^2=(RC/SK)^2 au choix. C'est juste non ?

Si on augmente le dividende de 33, le reste sera de 145 : cela signifie en réalité que le quotient augmentera de 1 et que le reste sera donc nul. Il ne faut donc pas augmenter le dividende de plus de 32.

Exemple :
Dividende 692 et diviseur 145 : on trouve quotient 4 et reste 112.
Si on augmente le dividende de 33 on aura : dividende 725 et diviseur 145 : on trouve alors quotient 5 et reste 0; on voit que le quotient augmente de 1 et que le reste est nul; il suffit donc d'augmenter le dividende de pas plus que 32 de sorte que le quotient reste 4 (seul le reste change).

J'ai essayé d'être clair.

1.|f(g(x))-f(g(y))|=<k|g(x)-g(y)|=<k(m|x-y|)=km|x-y|
2. me semble évident
3. Pour x et y dans [a,b] ou ]b,c] pas de problème. Pour x dans ]b,c] et y dans [a,b] on a |f(x)-f(y)|=|f(x)-f(b)+f(b)-f(y)|=<|f(x)-f(b)|+|f(b)-f(y)|=<k|y-b|+|f(x)-f(b)| et on ne sait pas majorer cette dernière expression puisque f est lipschitzienne sur ]b,c].
4. à chercher
5. Montrer (en utilisant la définition sûrement) que f lip sur [0,+oo[ implique f(x)/x bornée sur [1,+oo[. Les fonctions proposées ne sont donc pas lipschitziennes puisque x et exp(x)/x sont non bornées sur [1,+oo[ (c'est le raisonnement par contraposée).
6. à chercher
7. On suppose que f est bornée par M et g par N et k et p lipschitziennes respectivement, alors :
|f(x)g(x)-f(y)g(y)|=|f(x)g(x)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(y)g(y)|=|f(x)(g(x)-g(y))+g(y)(f(x)-f(y))|=<|f(x)||g(x)-g(y)|+|g(y)||f(x)-f(y)|=<Mk|x-y|+Np|x-y|=(Mk+Np)|x-y| donc fg est lipschitzienne de constante Mk+Np.

Voilà, je n'ai plus le temps, je dois partir, mais j'ai déjà été gentil.

Une fonction peut être définie en un point et n'avoir pas de limite en ce point.
Par exemple la fonction partie entière : elle est définie sur tout R mais les limites à gauche et à droite de [z] pour z dans Z sont respectivement z-1 et z.
Si une fonction est continue en un point alors là oui la limite en X0 est f(X0), qu'on vienne de la gauche ou de la droite.

a) La méthode d'Euler dit que f(x+h) ~ f(x)+hf'(x). Donc ici, f(0.25) ~ f(0)+0.25racine(0)=0.
b) On part de X0=0, Y0=f(X0)=f(0)=0 et pour tout n>0 on a Xn=Xn-1 + h et Yn=f(Xn)=f(Xn-1 + h)~f(Xn-1)+hf'(Xn-1)=Yn-1 + hracine(Xn-1). On trouve donc les points (X1,Y1)=(0.5 ; 0) et (X2,Y2)=(1 ; 0.35). Il suffit de placer ces points sur un graphique et de les relier par une courbe.

Il me semble que ça doit être ainsi.

Le multant est le produit de tous les chiffres qui composent un nombre.
Le multant de 531 est donc 5x3x1=15.