Pierre de Fermat (17 août 1601 [Beaumont-de-Lomagne] -12 janvier 1665 [Castres])
Pierre de Fermat était un génial mathématicien français du XVIIè siècle, qui a contribué avec Descartes à la création de la géométrie analytique (il est le premier à donner une méthode générale pour la détermination des tangentes à une courbe plane), à celle du calcul infinitésimal (avec Leibniz et Newton), et à celle du calcul des probabilités (avec Pascal). Il est aussi célèbre pour ses travaux en arithmétique, la branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers.
Né près de Toulouse (précisément à Beaumont de Lomagne) en 1601, d'un père négociant en cuir, Fermat a toujours vécu bien loin des centres intellectuels européens. Il n'était d'ailleurs pas mathématicien professionnel, mais magistrat (il fut aussi conseiller au parlement de Toulouse à partir de 1631, puis membre de la chambre de l'édit de Castres), et il ne participa à la vie mathématique de son époque que par sa correspondance privée avec d'autres savants. Il est mort à Castres en 1665.
Fermat a été très influencé par la lecture des classiques de l'Antiquité, notamment celle de Diophante, mathématicien grec auteur de l'Arithmetica, ouvrage que les Européens ont redécouvert au milieu du XVIè s. Fermat annota abondamment la marge de son exemplaire de l'Arithmetica, en annonçant et plus rarement en prouvant de nombreux résultats (son fils rééditera l'Arithmetica avec les notes de Fermat). En 1840, tous étaient démontrés ou invalidés. Tous sauf un, qui devait tenir en haleine les mathématiciens jusqu'en 1994.
En effet, en marge du problème qui consiste à trouver des carrés qui sont sommes de deux autres carrés (on appelle cela chercher des triplets pythagoriciens, car il s'agit des côtés d'un triangle rectangle, par exemple $5^2=3^2+4^2$), Fermat écrivit : "D'autre part, un cube n'est jamais somme de deux cubes, une puissance quatrième n'est jamais somme de deux puissances quatrièmes, et plus généralement aucune puissance supérieure stricte à 2 n'est somme de deux puissances analogues. J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais je ne peux l'écrire dans cette marge car elle est trop longue". On ne saura jamais si Fermat avait réellement une preuve de son théorème, c'est peu probable, mais après tout qu'importe ! Des générations de mathématiciens s'y sont cassé les dents, tout en y forgeant les outils modernes de l'arithmétique.
Avec des notations modernes, Fermat affirme que, dès que $n$ est un entier naturel différent de $2,$ la seule solution entière à l'équation $x^n+y^n=z^n$ est $x=y=z=0.$ On retrouva une démonstration de Fermat pour le cas $n=4,$ fondée sur l'ingénieuse méthode de la descente infinie. Il a fallu attendre 100 ans pour que Leonhard Euler fournisse une démonstration du cas $n=3.$ Elle comportait certes une erreur, mais les idées nouvelles qu'elle contient permettent de résoudre complètement ce cas. En 1820, ce sont Dirichlet et Legendre qui traitèrent le cas $n=5.$ Un grand pas fut franchi par Kümmer au milieu du XIXè s. avec des travaux très importants sur les entiers cyclotomiques. Il est parvenu à démontrer le théorème pour tous les exposants premiers inférieurs à 100, hormis 37, 59 et 67.
Il faudra attendre le 19 septembre 1994, et le mathématicien anglais Andrew Wiles, pour qu'après de nombreux de progrès, le théorème de Fermat soit entièrement prouvé. La démonstration de Wiles prend environ 1000 pages. Il n'y avait effectivement pas assez de place dans la marge !