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Oraux de concours : compacité, connexité par arcs, espaces vectoriels normés de dimension finie

Ecole polytechnique

Exercice 1 - Topologie des classes de similitude - d'après Oral X-Mines MP ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb C),$ on note $C(A)=\{P^{-1}AP:\ P\in GL_n(\mathbb C)\}.$

Montrer que $C(A)$ est d'intérieur vide.
Montrer que $C(A)$ est connexe par arcs.
Caractériser les matrices $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ telles que $C(A)$ est bornée.
Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $C(A)$ est fermée.

Indication

Corrigé

Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. Ainsi, pour tout $B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ et tout $\veps\neq 0,$ $B$ et $B+\veps I_n$ ne sont pas semblables. Donc, si $B\in C(A),$ toute boule autour de B contient une matrice du type $B+\veps I_n$ qui n'est pas semblable à $B,$ donc pas semblable à $A.$
Il suffit de démontrer que $GL_n(\mathbb C)$ est connexe par arcs. En effet, si $B=PAP^{-1}$ et $C=QAQ^{-1}$ sont toutes deux dans $C(A),$ et si $\varphi:[0,1]\to GL_n(\mathbb C)$ est un chemin continu vérifiant $\varphi(0)=P$ et $\varphi(1)=Q,$ alors par continuité du produit matriciel et du passage à l'inverse, $t\mapsto \varphi(t) A\varphi(t)^{-1}$ est un chemin continu à valeurs dans $C(A),$ partant de $B$ et allant à $C.$
Considérons donc $P$ et $Q$ dans $GL_n(\mathbb C)$ et soit $M(z)=(1-z)P+zQ.$ Alors $z\in\mathbb C\mapsto M(z)$ est continue et $z\mapsto \det M(z)$ est un polynôme non identiquement nul. Il admet un nombre fini de racines, soit $A$ l'ensemble fini de ses racines.
Alors $\mathbb C\backslash A$ est connexe par arcs, et il existe $\gamma:[0,1]\to \mathbb C\backslash A$ avec $\gamma(0)=0$ et $\gamma(1)=1.$
La fonction $t\in[0,1]\mapsto M(\gamma(t))$ est une fonction continue de $[0,1]$ dans $GL_n(\mathbb C),$ valant $P$ en $0$ et $Q$ en $1.$ Ceci prouve que $GL_n(\mathbb C)$ est connexe par arcs.
On commence par remarquer que si $A$ n'est pas diagonale, alors $C(A)$ n'est pas bornée. En effet, supposons par exemple $a_{2,1}\neq 0$ et considérons pour $\lambda\neq 0,$ $P=\textrm{diag}(\lambda,1,\dots,1).$ Posons $A(\lambda)=P_\lambda A P_{\lambda}^{-1}.$ Alors en effectuant les produits successifs $$\begin{pmatrix} a_{1,1}&\dots&\dots\\ a_{2,1}&\dots&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/\lambda&&\\ &1&\\ &&\ddots \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{a_{1,1}}\lambda&\dots&\dots\\ \frac{a_{2,1}}\lambda&\dots&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots \end{pmatrix}$$ puis $$\begin{pmatrix}\lambda&&\\ &1&\\ &&\ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{a_{1,1}}\lambda&\dots&\dots\\ \frac{a_{2,1}}\lambda&\dots&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{1,1}&\dots&\dots\\ \frac{a_{2,1}}\lambda&\dots&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots \end{pmatrix},$$ on remarque que $a_{2,1}(\lambda)=a_{2,1}/\lambda.$ En particulier, $\lim_{\lambda\to 0}\|A(\lambda)\|=+\infty$ alors que $A(\lambda)\in C(A).$ Ainsi, $C(A)$ n'est pas bornée.
Considérons maintenant $A$ diagonale et supposons qu'elle admet deux coefficients diagonaux distincts, par exemple $a_{1,1}\neq a_{2,2}.$ Considérons alors $P$ la matrice $$P=\begin{pmatrix} 1&1&0&\dots\\ 0&1&0&\dots\\ 0&&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&1 \end{pmatrix}, P^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1&0&\dots\\ 0&1&0&\dots\\ 0&&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&1 \end{pmatrix}.$$ Alors, le petit calcul suivant, effectué uniquement en dimension $2,$ prouve que $B=PAP^{-1}$ n'est pas diagonale : $$\begin{pmatrix} a_{1,1}&0\\ 0&a_{2,2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{1,1}&-a_{1,1}\\ 0&a_{2,2} \end{pmatrix} $$ et $$ \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{1,1}&-a_{1,1}\\ 0&a_{2,2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{2,2}-a_{1,1}\\ 0&a_{2,2} \end{pmatrix}. $$ Ainsi, dans $C(A)$ il existe une matrice $B$ qui n'est pas diagonale. Donc $C(A)=C(B)$ n'est pas bornée.
Réciproquement, si $A=\lambda I_n,$ alors $C(A)=\{A\}$ est bornée.
Supposons d'abord que $C(A)$ est fermée. Soit $T$ triangulaire supérieure telle que $A$ est semblable à $T,$ de sorte que $C(A)=C(T).$ On va trouver une matrice semblable à $T$ dont les coefficients hors diagonale sont le plus petit possible. Pour cela, considérons, pour $k\geq 1,$ les matrices de dilatation $D_k=\textrm{diag}(1^k,2^k,\dots,n^k).$ Comme la multiplication à droite (resp. à gauche) par une matrice diagonale revient à multiplier les colonnes (resp. les lignes) par les coefficients de la diagonale, on a $$D_k T D_k^{-1}=\left(\frac{i^k}{j^k}t_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$$ Les coefficients diagonaux restent donc inchangés, la matrice reste triangulaire supérieure, et pour les coefficients au-dessus de la diagonale, c'est-à-dire pour lesquels $j>i,$ on a $$\lim_{k\to+\infty} \frac{i^k}{j^k}t_{i,j}=0.$$ Ainsi, la matrice $D_k T D_k^{-1}$ converge vers une matrice diagonale et comme $C(A)$ est fermée, $A$ est semblable à une matrice diagonale et est donc diagonalisable.
Réciproquement, on suppose que $A$ est diagonalisable et on considère une suite $(A_k)$ de $C(A)$ qui converge vers $B$. Soit $(P_k)$ une suite de $GL_n(\mathbb C)$ telle que $A_k=P_k AP_k^{-1}$ pour tout $k\geq 1.$ On doit prouver que $A$ est semblable à $B$. Mais puisque $A$ est diagonalisable, il existe $\mu\in\mathbb C[X]$ scindé à racines simples tel que $\mu(A)=0.$ On obtient encore $$\mu(A_k)=P_k \mu(A)P_k^{-1}=0,$$ et donc, par passage à la limite, $\mu(B)=0.$ En particulier, $B$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, donc $B$ est diagonalisable. De plus, puisque deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique et que, par continuité du déterminant, si $(A_k)$ converge vers $B,$ alors $(\chi_{A_k})$ converge vers $\chi_B$ dans $\mathbb C_n[X],$ on en déduit que $\chi_B=\chi_A.$ Mais alors, $A$ et $B$ (qui sont toutes les deux diagonalisables) sont semblables à la même matrice diagonale. Donc $A$ et $B$ sont semblables et $C(A)$ est bien fermée.

Mines/Ponts

Exercice 2 - Intersection décroissante de boules (d'après Oral Mines-Ponts) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite décroissante de boules fermées décroissante pour l'inclusion. Montrer que $K=\bigcap_{n\in\mathbb N}B_n$ est une boule fermée.

Indication

Corrigé

Compacité, connexité par arcs, espaces vectoriels de dimension finie

Cours

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