Enoncé 
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite décroissante de boules fermées décroissante pour l'inclusion. Montrer que $K=\bigcap_{n\in\mathbb N}B_n$ est une boule fermée.
Corrigé 
Pour $n\in\mathbb N,$ on appelle $x_n$ le centre de $B_n$ et $r_n$ son rayon. On peut remarquer que, puisque $B_{n+1}\subset B_n,$ la suite $(r_n)$ est décroissante. C'est une suite de réels positifs, donc elle converge vers un réel $r\geq 0.$ De plus, la suite $(x_n)$ est bornée (elle vit dans la boule $B_0$), et comme $E$ est de dimension finie, on peut en extraire une sous-suite convergente $(x_{\varphi(n)})$. Notons $x$ sa limite.
On va démontrer que $K=\overline{B}(x,r).$ On commence par remarquer que si $y\in K,$ alors pour tout entier $n,$ on a
$$\|y-x_{\varphi(n)}\|\leq r_n.$$
En passant à la limite, on trouve
$$\|y-x\|\leq r$$
et donc $y\in \overline{B}(x,r)$. Réciproquement, considérons $y\in \overline{B}(x,r)$ et supposons que $y\notin K.$ En particulier, il existe $p\in\mathbb N$ tel que $y\notin B_p.$ Puisque $B_p$ est fermé, il existe $\delta>0$ tel que
$\overline{B}(y,\delta)\cap \overline{B}(x_p,r_p)=\varnothing.$
La suite de boules $(B_n)$ étant décroissante, pour tout $n\geq p,$ on a
$\overline{B}(y,\delta)\cap \overline{B}(x_n,r_n)=\varnothing.$
Ceci entraîne que
$$\|y-x_n\|\geq r_n+\delta.$$
Ceci est vrai en particulier pour la suite extraite (à partir du rang $p$ au moins) et donc
$$\|y-x_{\varphi(n)}\|\geq r_{\varphi(n)}+\delta.$$
On passe à la limite et on trouve
$$\|y-x\|\geq r+\delta$$
et donc $y\notin K$, une contradiction.
En réalité, le raisonnement par l'absurde est inutile : on démontre directement que $K^c\subset \overline{B}(x,r)^c,$ ce qui donne $\overline{B}(x,r)\subset K$ par passage au complémentaire.
