Préparer sa kholle : compacité, connexité par arcs, evn de dimension finie

Supposons pour commencer que l'ensemble $\mathcal C$ est compact. Alors on sait que $f$, qui est continue sur $\mathcal C$, y est bornée et atteint ses bornes. En particulier, il existe $a\in\mathcal C$ tel que $f(a)=\inf_{x\in \mathcal C}f(x)$. Puisque $f(a)>0$, le résultat est démontré.
Il suffit donc de prouver que $\mathcal C$ est compact. Puisque $\mathcal C$ est une partie de $\mathbb R^n$, il suffit de prouver qu'elle est bornée et fermée. Pour démontrer qu'elle est bornée, on peut choisir de munir $\mathbb R^n$ de la norme $\|\cdot\|_1$ (toutes les normes sur $\mathbb R^n$ sont équivalentes). Mais, alors, si $x\in\mathcal C$, on a $$\|x\|_1=|x_1|+\dots+|x_n|=x_1+\dots+x_n=1.$$ Ainsi, $\mathcal C$ est bornée. Pour démontrer que $\mathcal C$ est compact, on va poser $$\mathcal C_0=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n;\ x_1+\dots+x_n=1\}\textrm{ et }\mathcal C_i=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n;\ x_i\geq 0\},\ i=1,\dots,n.$$ Il est clair que $\mathcal C=\mathcal C_0\cap\mathcal C_1\cap\dots\mathcal C_n$. Pour démontrer que $\mathcal C$ est fermé, il suffit de démontrer que chaque $\mathcal C_i$ est fermé, puisque l'intersection de parties fermées est fermée. Or, posons $f_0(x)=x_1+\dots+x_n$ et $f_i(x)=x_i$, $i=1,\dots,n$. Toutes les fonctions $f_i$ sont continues. De plus, $$\mathcal C_0=f_0^{-1}(\{1\})\textrm{ et }\mathcal C_i=f_i^{-1}([0,+\infty[).$$ Ainsi, chaque $\mathcal C_i$ est fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue, ce qui achève la preuve de la compacité de $\mathcal C$.

On sait que pour tout $z\in\mathbb C,$ on a $f(z)=z$ ou $f(z)=-z.$ Soit $g:\mathbb C^*\to \mathbb C$ définie par $g(z)=f(z)/z$. Alors $g$ est continue sur $\mathbb C^*$. De plus, $g$ est à valeurs dans $\{-1;1\}$. Comme $\mathbb C^*$ est connexe par arcs et que l'on doit donc avoir $g(\mathbb C^*)$ connexe par arcs, on en déduit que $g$ est constante. Si $g=1,$ alors $f(z)=z$ pour tout $z\in\mathbb C^*$ et donc tout $z\in\mathbb C$ par continuité, si $g=-1,$ alors $f(z)=-z$ pour tout $z\in\mathbb C.$