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Résumé de cours : compléments de topologie des espaces vectoriels normés

$(E,\|\cdot\|),(F,\|\cdot\|)$ désignent des espaces vectoriels normés sur le corps $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Parties compactes d'un espace vectoriel normé

Une partie $K$ de $E$ est dite compacte si, de toute suite $(u_n)$ d'éléments de $K$, on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de $K$.

En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.

Proposition : Toute partie compacte de $E$ est fermée et bornée.

Proposition : Si $A$ est une partie compacte de $E$ et si $B\subset A$ est fermé, alors $B$ est compact.

Exemples : Un segment $[a,b]$ est une partie compacte de $\mathbb R$. En particulier, les parties compactes de $\mathbb R$ ou de $\mathbb C$ sont les parties fermées et bornées.

Théorème : Une suite d'éléments d'une partie compacte de $E$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.

Théorème : Si $E=E_1\times\dots\times E_p$ est un espace vectoriel normé produit, et si pour chaque $i=1,\dots,p$, $A_i$ est une partie compacte de $E_i$, alors $A=A_1\times\dots\times A_p$ est une partie compacte de $E$.

Fonctions continues sur une partie compacte

Théorème : Soit $f:K\to F$ une fonction continue où $K$ est une partie compacte de $E$. Alors $f(K)$ est un compact de $F$.

En particulier, si $f:K\to\mathbb R$ avec $K$ compact, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.

Parties connexes par arcs

Soit $A$ une partie de $E$, et $x,y\in A$. On appelle chemin continu tracé dans $A$ de $x$ vers $y$ toute application continue $f:[0,1]\to A$ vérifiant $f(0)=x$ et $f(1)=y$.

Une partie $A$ de $E$ est connexe par arcs si, pour tous $x,y\in A$, il existe un chemin continu de $x$ vers $y$ tracé dans $A$.

Toute partie convexe est connexe par arcs. Toute partie étoilée est connexe par arcs.

Théorème : Les parties connexes par arcs de $\mathbb R$ sont les intervalles.

Théorème : Soit $f:A\to F$ continue. Si $A$ est connexe par arcs, alors $f(A)$ est connexe par arcs.

Corollaire : L'image d'un intervalle par une fonction continue à valeurs réelles est un intervalle.

Si $A$ est une partie de $E$, on définit une relation d'équivalence sur $A$ par $x\sim y$ s'il existe un chemin continu tracé dans $A$ joignant $x$ à $y$. Les classes d'équivalence pour cette relation d'équivalence sont des parties connexes par arcs de $A$, et ce sont les parties connexes par arcs de $A$ maximales pour l'inclusion. On les appelle les composantes connexes par arcs de A. En particulier, $A$ est réunion de ses composantes connexes par arcs.

Espaces vectoriels normés de dimension finie

Théorème : Sur un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

En particulier, si $E$ est de dimension finie, si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes sur $E,$ si $(u_n)$ est une suite de $E$ et si $A$ est une partie de $E$, alors :

$(u_n)$ converge dans $(E,N_1)$ si et seulement si $(u_n)$ converge dans $(E,N_2).$ On dira simplement que $(u_n)$ converge dans $E.$
$(u_n)$ converge si et seulement si chacune de ses coordonnées dans une base converge.
$A$ est un ouvert de $(E,N_1)$ si et seulement si $A$ est un ouvert de $(E,N_2).$ On dira simplement que $A$ est un ouvert de $E.$
$A$ est un fermé de $(E,N_1)$ si et seulement si $A$ est un fermé de $(E,N_2).$ On dira simplement que $A$ est un fermé de $E.$

Théorème : Une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Corollaire : Toute suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie admet une suite extraite convergente.

Corollaire : Une suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.

Corollaire : Tout sous-espace de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé.

Théorème : Si $E$ est de dimension finie, alors toute application linéaire de $E$ dans $F$ est continue.

Fonctions polynomiales

Soit $f:\mathbb K^n\to \mathbb K.$ On dit que $f$ est une fonction polynômiale s'il existe une famille $(a_{i_1,\dots,i_n})\in{\mathbb N^n}$ presque nulle d'éléments de $\mathbb K$ telle que, pour tout $x\in \mathbb K^n,$ $$f(x)=\sum_{(i_1,\dots,i_n)\in\mathbb K^n}a_{i_1,\dots,i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}.$$

Proposition : Toute fonction polynômiale est continue.

Exemples :

L'application $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)\mapsto \det(M)$ est continue car fonction polynômiale des coefficients de la matrice $M.$
L'application $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)\mapsto M^p$ est continue car chacun des coefficients de la matrice $M^p$ est polynômial en les coefficients de $M.$
L'application $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)\mapsto \textrm{com}(M)$ est continue car chacun des coefficients de la comatrice est au signe près un déterminant, donc une fonction polynômiale des coefficients de $M.$
L'application $M\in GL_n(\mathbb R)\mapsto M^{-1}$ est continue, car elle est la composée et le produit de fonctions continues par la formule $$M^{-1}=\frac 1{\det(M)}(\textrm{com}(M))^T.$$

Compacité, connexité par arcs, espaces vectoriels de dimension finie