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#1 27-03-2022 15:59:02

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 436

Si N=aaa...aaa, avec n chiffres a, en base b=a+1, comment s'écrit N² ?

Bonjour à tous !

Si N=aaa...aaa, avec n chiffres a, en base b=a+1, comment s'écrit N² ?

Le problème a été posé en entraide "supérieur" par Junior ste, avec la base b=2.

Je me suis posé la question de généraliser ... DONC je vous renvoie la balle dans votre camp, vous les amateurs de calculs !

PS : il y a une formule à trouver.

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (27-03-2022 16:02:49)


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#2 27-03-2022 22:22:27

SalusaSecundus
Invité

Re : Si N=aaa...aaa, avec n chiffres a, en base b=a+1, comment s'écrit N² ?

Hello ! J'ai jamais vraiment fait de problèmes avec des bases, allez j'me lance !

Donc si N=aa...aa ; avec a n fois, et que c'est en base b avec b=a+1 , on peut essayer d'expliciter tout ça.
On a donc:
$N=a\cdot b^{0}+a\cdot b^{1}+\ldots +a\cdot b^{n}$
On remplace b:
$N=a\left( a+1\right) ^{0}+a\left( a+1\right) ^{1}+\ldots +a\left( a+1\right) ^{n}=\sum ^{n}_{k=0}a\left( a+1\right) ^{k}$

$N=\left( a+1\right) ^{n+1}-1$

on met au carré tout ça, on a au final:
$N^{2}=-2\left( a+1\right) ^{n+1}+\left( a+1\right) ^{2n+2}+1$

voila je poste ça je vais tester si ca marche (on croise les doigts)

Dernière modification par yoshi (28-03-2022 08:37:17)

#3 27-03-2022 23:25:06

Junior ste
Membre
Inscription : 03-11-2021
Messages : 78

Re : Si N=aaa...aaa, avec n chiffres a, en base b=a+1, comment s'écrit N² ?

Salut.
Comme l'a dit SalusaSecundus arriver avec point c'est la conversion de (a+1)^n -2 dans la base a+1 que je ne vois pas sortir... merci

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#4 28-03-2022 04:03:57

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 436

Re : Si N=aaa...aaa, avec n chiffres a, en base b=a+1, comment s'écrit N² ?

Bonjour !

3h40, il y a une souris dans la chambre, le chat court après mais ne l'attrape pas, c'est plus marrant pour lui !

Donc je pars en chasse et finalement la pauvre bête se coince sous un fauteuil ... et meurt écrasée ... 3h55, ouf !

Revenons aux maths, SalusaSecundus, je n'ai rien compris ???

Moi j'attends une réponse avec des 1, des 0, et des a, et éventuellement des a'=a-1 ... a et a' étant des chiffres dans la base b=a+1 !

Bonne suite, je vais faire un puzzle et me recoucher ...

Bernard-maths


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#5 28-03-2022 06:22:45

Junior ste
Membre
Inscription : 03-11-2021
Messages : 78

Re : Si N=aaa...aaa, avec n chiffres a, en base b=a+1, comment s'écrit N² ?

Salut.
Après plusieurs calcul le résultat est donnée par:
N^2 =aaa....aa(a-1)000..001 où nous avons n-1 zeros et n-1 chiffres a au début de l'expression de N^2.

Dernière modification par Junior ste (28-03-2022 07:37:17)

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#6 28-03-2022 08:41:03

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 436

Re : Si N=aaa...aaa, avec n chiffres a, en base b=a+1, comment s'écrit N² ?

Super !

Pour éviter d'écrire (a-1), j'ai proposé d'écrire a' pour a-1.

Reste un petit truc, pour le fun du détail, comme disent les Canadiens : les cas n = 1, et n = 2 ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (28-03-2022 08:43:20)


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#7 28-03-2022 12:35:08

Junior ste
Membre
Inscription : 03-11-2021
Messages : 78

Re : Si N=aaa...aaa, avec n chiffres a, en base b=a+1, comment s'écrit N² ?

Salut.
Comme Bernard-Maths l'a dit
Si n=1 alors N^2=(a-1)1=á1.
Si n=2 alors N^2=a(a-1)1=aá1.

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