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#1 19-10-2015 11:47:42
- vrouvrou
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- Messages : 311
A' est fermé dans un espace séparé
Bonjour,
J'aimerai montrer que l'ensemble des points d'accumulation [tex]A'[/tex] est un ensemble fermé dans un espace [tex](E,\theta)[/tex] séparé.
Il suffit de montrer que [tex]C_{E} A'[/tex] est ouvert, i.e., voisinage de tout ces points. Soit [tex]x\in C_{E}A'[/tex], alors il existe un voisinage (ouvert sans perte de généralité) [tex]V[/tex] tel que [tex]V\setminus\{x\} \cap A=\emptyset[/tex] .
Pour que [tex]C_{E}A'[/tex] soit un voisinage de x il suffit que [tex]V\subset C_{E}A'[/tex]. Soit [tex]y\in V[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Si [tex]y=x[/tex] alors il existe un voisinage [tex]W =V[/tex] de y tel que [tex]W\setminus\{y\}\cap A=\emptyset[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Si [tex]y\neq x[/tex] alors dans ce cas [tex]y\in V\setminus\{x\}[/tex]
Comment montrer l'existence d'un voisinage [tex]W[/tex] de [tex]y[/tex] qui vérifie [tex]W\setminus\{y\}\cap A=\emptyset[/tex] en utilisant que l'espace est séparé ?
Merci
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#2 19-10-2015 15:29:10
- Fred
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Re : A' est fermé dans un espace séparé
Salut,
Commence par poser [tex]W_1=V[/tex]. Alors, dans [tex]W_1\backslash \{y\}\cap A[/tex], il ne peut y avoir que [tex]x[/tex].
Maintenant, comme ton espace est séparé, il existe un voisinage ouvert [tex]W_2[/tex] de [tex]y[/tex] tel que [tex]x\notin W_2[/tex].
Il suffit de poser [tex]W=W_1\cap W_2[/tex].
F.
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#4 19-10-2015 16:35:42
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : A' est fermé dans un espace séparé
Merci, petite question on prend l'intersection pour être sure que [tex]W\setminus\{y\}\cap A=\emptyset[/tex] ?
Oui.
Aussi est ce que les voisinages doivent être ouverts s'il vous plait ?
Merci
Pas nécessairement.
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#11 03-11-2015 20:32:52
- vrouvrou
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Re : A' est fermé dans un espace séparé
Mais lorsque je prend y de [tex]V\setminus\{x\}[/tex], y n'appartient pas forcément à A donc pourquoi [tex]W\cap A=\{x\}[/tex]
ca veut dire que [tex]V\cap A=\{x,y\}[/tex] ?
Merci
Dernière modification par vrouvrou (03-11-2015 20:33:13)
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#12 03-11-2015 21:28:21
- Fred
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- Messages : 7 349
Re : A' est fermé dans un espace séparé
Non!!!!
Tu as choisi dès le départ un voisinage [tex]V[/tex] de [tex]x[/tex] tel que [tex]V\backslash \{x\}\cap A=\varnothing [/tex].
En particulier, cela veut dire que [tex]V\cap A\subset \{x\} [/tex].
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#13 03-11-2015 21:36:37
- vrouvrou
- Membre
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Re : A' est fermé dans un espace séparé
Et donc si on prend [tex]y\in V[/tex] avec [tex]y\neq x[/tex], pourquoi [tex]W\setminus\{y\}\cap A=\emptyset[/tex] on sait juste que x n'est dans W mais on ne sais pas si W et A se coupent uniquement dans y
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