Le sablier : il est rempli comment ???

Bernard-maths · 13-09-2022 21:19:10

Bonsoir à tous !

Je suis dans les bipyramides, et ça promet !

Alors j'ai pensé vous sortir du train-train quotidien en vous proposant un sablier composé d'un bi cylindre accolé à un bi cône ...

Le diamètre commun de ces 4 objet est de 8 cm, alors que les hauteurs sont de 6 cm.

Si on connaît la hauteur h (entre 0 et 12) de sable dans la partie supérieure lorsqu'elle vient juste d'être retournée ( et bizarrement le niveau est horizontal !), quel sera le niveau h' (entre -12 et 0) lorsque le sable se sera entièrement écoulé dans la partie basse , hein !???

Moi j'attendrais volontiers une fonction h' = f(h), mais vous pouvez faire des essais avant ...

Euh ... bonne nuit !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-09-2022 21:28:43)

Bernard-maths · 15-09-2022 19:16:44

Bonsoir à tous !

Voilà 2 jours que je vous ai posé ce "petit problème" ! Et personne ne s'est lancé ? Bon, je vais vous donner quelques conseils ...

La fonction f est définie de [0 , 12] dans [-12 , 0].

Quel est le volume d'un cylindre ? Et d'un cône ? Quelle relation entre les 2 ici ?

Le cône du haut occupe quel volume du cylindre du bas ?

Faites quelques essais avec h = 0, 6, 8, 10, 12.

Alors quelles sont les formules donnant h' en fonction de ?

A bientôt, Bernard-maths

Désolé (Roro), je rajoute en rouge des précisions tardives ...

Dernière modification par Bernard-maths (16-09-2022 08:50:30)

Roro · 15-09-2022 21:54:55

Bonsoir,

Je n'avais pas vu le message immédiatement... une solution (pas complètement triviale, disons un peu calculatoire) mais j'ai peut être fait une (ou plusieurs) erreurs :

▼Texte caché

Roro.

P.S. Je viens de (très légèrement) modifier pour prendre en compte la remarque qu'a ajoutée Bernard-maths en rouge. J'avais compris que $h'$ était la hauteur de sable depuis le bas alors que c'est l'ordonnée mesurée depuis le centre. Il fallait juste retrancher 12 à ce que j'avais indiqué avant !

Dernière modification par Roro (16-09-2022 09:56:54)

Wiwaxia · 16-09-2022 09:19:34

Bonjour,

Le volume de sable écoulé de la partie supérieure (à gauche) étant égal à celui du sable recueilli en bas (à droite), et le récipient présentant une symétrie par rapport à son centre, les dénivellations correspondantes sont égales:

H - h = h'

d'où: h + h' = H .

Bernard-maths · 16-09-2022 12:02:17

Bonjour à vous deux !

Roro, il doit manquer quelque(s) exposant(s) ...

Wiwaxia : ce qui est "dans le bas du haut" se retrouve "dans le bas du bas" ... pas de symétrie, je pense ...
Par contre le Volume de début en haut sera le même que le Volume arrivé en bas ...

A moi Bernard : va falloir te décider à faire les calculs ...( :-)

@ +

Dernière modification par Bernard-maths (16-09-2022 12:10:21)

Bernard-maths · 16-09-2022 21:32:21

Bonsoir à tous !

Il faut que je m'y mette ... Le cône du haut va remplir le 1er tiers du cylindre du bas, peu à peu, la formule ?
Les 2 tiers du bas du cylindre du ... haut, vont remplir les 2 derniers tiers du cylindre du bas, et le 3ème tiers du cylindre haut va remplir le cône du bas ... eh ! eh !

Lorsque j'étais invité à boire du campagne, dans des verres coniques, je pensais toujours qu'un verre à moitié plein EN HAUTEUR, ne faisait jamais que le 8^ième du VOLUME ( ... du verre !)

Pour passer de la hauteur h à h', entre un cylindre et un cône, faut donc utiliser les formules de volumes, avec des exposants ...

Bon ! Là je vais me coucher. Bonne nuit !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-09-2022 21:33:56)

Roro · 16-09-2022 21:45:49

Bonsoir,

Bernard-maths a écrit :

Roro, il doit manquer quelque(s) exposant(s) ...

Avant de vérifier mes calculs, je vais attendre de savoir ce que tu entends par "exposants" parce que ça me parait cohérent d'avoir des cubes et des racines troisièmes...

Roro.

Bernard-maths · 17-09-2022 08:29:55

Bonjour à tous !

Après quelques mélanges de pédales dans la choucroute, je constate que les réponses de Roro sont excellentes ! Fi donc de mes remarques insidieuses ...

On peut admirer les courbes et les symétries ... c'est la courbe noire que j'attendais ... et la fonction p, définie par intervalles.

Quelques explications ...

Les 2 points critiques sont ceux concernant les cônes ! Du haut qui se vide, du bas qui se remplit ...

1) Démarrons en haut avec une hauteur h entre 0 et 6. le volume occupé est celui d'un cône de hauteur h, mais de rayon, proportionnel, r/4 = h/6 ... ce qui conduit à un volume v = Pi * (4 h³/27). Ce volume se retrouve en bas du cylindre bas sur un rayon r = 4 et une hauteur h1, tels que v = Pi * 4² * h1. On en déduit que h1 = h³/108, et donc que h' = (h³/108) - 12 !

2) Pour h entre 6 et 10, les 2 premiers tiers du cylindre haut se vident dans les 2 derniers tiers du cylindre du bas : il s'opère donc une translation des contenus, et des hauteurs ; on va alors trouver que h' = h - 16 !

3) Enfin pour le dernier tiers du haut, qui se vide dans le cône du bas ... un peu délicat. Le volume du haut est simple v = Pi * 42 * (h-10).
Mais en bas, le cône se remplit par le bas ... Pour le volume v, il faut donc considérer le cône entier moins le cône vide au-dessus !

Comme c'est là que j'ai pédalé, je vous laisse chercher ... vous connaissez la réponse !

Voici la fonction p : p(x) = Si(x ≥ 0 ∧ x ≤ 6, f(x), Si(x ≥ 6 ∧ x ≤ 10, g(x), Si(x ≥ 10 ∧ x ≤ 12, h(x))))

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (18-09-2022 09:21:08)

Black Jack · 25-09-2022 19:18:22

Bonjour.

Juste pour info.

Problème intéressant ... que je n'avais pas abordé à cause de ma casquette de Physicien qui me faisait craindre que le problème avait été pensé en mathématicien sans vraiment tenir compte des réalités physiques.

Quand du sable "coule" dans un sablier, le tas est toujours de forme conique, l'angle au sommet du cône est une constante pour un sable donné. (granulométrie).
Pour le sable utilisé dans un sablier l'angle est de l'ordre de 30 ° (varie un peu en fonction du type de sable)

On en parle un peu sur le site (entre plein d'autres) : http://matiereengrains.fr/index.php/les … de-grains/

Le niveau haut du sable écoulé n'est JAMAIS horizontal.

Si on veut calculer la position du "point culminant" du sable, on doit tenir compte de ce qui précède.

Roro · 25-09-2022 20:59:06

Bonsoir,

Si on remplace le mot "sablier" par "clepsydre", ça collera mieux avec la physique... (en négligeant les effets de tension de surface sur les bords, et les effets de la marée !).

En voyant les dessins de Bernard, je ne m'étais même pas posé la question. Ceci étant dit, la solution ne sera pas trop difficile à trouver, dès lors qu'on se donne l'angle de repos du sable.

Roro.

Bernard-maths · 26-09-2022 09:36:40

Bonjour à tous !

Vive la physique ! Le voulais être physicien, mais je n'ai pas "l'esprit" ... j'avais quand même dit "niveau bizarrement horizontal" car je savais bien que c'était plutôt conique : MAIS je ne voulais pas faire compliqué, DONC pensé matheux ... car divisé en 4 quarts ...

@ Roro, quand les bretons ne veulent pas voir le temps passer ... c'est crêpes - cidre ...

@ Black Jack, je vais réfléchir aux 30° ...

Merci pour vos remarques !

Bernard-maths

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#1 13-09-2022 21:19:10

Le sablier : il est rempli comment ???

#2 15-09-2022 19:16:44

Re : Le sablier : il est rempli comment ???

#3 15-09-2022 21:54:55

Re : Le sablier : il est rempli comment ???

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Re : Le sablier : il est rempli comment ???

#5 16-09-2022 12:02:17

Re : Le sablier : il est rempli comment ???

#6 16-09-2022 21:32:21

Re : Le sablier : il est rempli comment ???

#7 16-09-2022 21:45:49

Re : Le sablier : il est rempli comment ???

#8 17-09-2022 08:29:55

Re : Le sablier : il est rempli comment ???

#9 25-09-2022 19:18:22

Re : Le sablier : il est rempli comment ???

#10 25-09-2022 20:59:06

Re : Le sablier : il est rempli comment ???

#11 26-09-2022 09:36:40

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