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Omhaf

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Equations du second degré

Bonjour,
Ce que je vais présenter pourrait être une évidence très connue mais pas pour moi,
Dans une équation du second degré du type   ax²+bx+c=0
Considérons que les solutions de l'équation sont x1 et x2
j'ai remarqué dans tous les exemples que j'ai testés que le produit des  2 solutions de l'équation x1 et x2 et a équivaut  à c
ce qui signifie pour moi qu'il suffit de trouver une des 2 solutions  pour connaitre la 2éme solution
x1 *x2 *a=c
@ plus

Dernière modification par Omhaf (11-11-2023 15:31:30)

Zebulor

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Re : Equations du second degré

Bonjour,
oui c'est un résultat général, que tu peux retrouver en faisant le produit des solutions $x_1$ et $x_2$ de cette page :
https://www.bibmath.net/dico/index.php? … inome.html
Et de mémoire, il existe des formules générales sur la somme et le produit des racines en fonction des coefficients polynomiaux pour un polynôme de degré $n$... et j'ai trouvé ceci, juste avant le paragraphe sur l'arithmétique des polynômes :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … nomes.html

Dernière modification par Zebulor (11-11-2023 11:09:32)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

DeGeer

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Re : Equations du second degré

Oui, on peut exprimer les coefficients d'un polynôme comme polynômes symétriques en les racines. Par contre ce fait ne permet pas de retrouver les racines puisque pour retrouver les racines, il faut résoudre un système d'équations qui revient justement à trouver les racines.

Zebulor

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Re : Equations du second degré

Re,

ce fait ne permet pas de retrouver les racines puisque pour retrouver les racines, il faut résoudre un système d'équations qui revient justement à trouver les racines.

en effet c'est le serpent qui se mord la queue, ce qui complète ma réponse...

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Omhaf

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Re : Equations du second degré

Re,
Je n'ai pas prétendu ou affirmé que l'équation x1 * x2 * a =c aide à résoudre l'équation.
Tout ce que je voulais voir en vos réactions est: que veut dire cette équation et pourquoi cette équation? selon vous.

(sachant que x1 et x2 sont les solutions de l'équation ax²+bx+c =0).

Glozi

Invité

Re : Equations du second degré

Bonsoir,

Supposons que $P(X)=aX^2+bX+c$ ait deux racines, $x_1$ et $x_2$. Alors $P(X)=a(X-x_1)(X-x_2)$ (si ce n'est pas clair pourquoi ce "alors" est vrai tu peux jeter un coup d'oeil à l'annexe en spoiler).

Si on développe $aX^2+bX+c= P(X)=a(X-x_1)(X-x_2) = aX^2-a(x_1+x_2)X+ax_1x_2$.
Alors en identifiant les coefficients devant $X^1$ et devant $X^0$ on trouve $b = -a(x_1+x_2)$ et ta relation $c=ax_1x_2$.

Cela est connu depuis très longtemps et s'appelle couramment le "lien coefficients/racines" (il y a aussi d'autres noms).

▼annexe

Dans cette annexe je dis un mot sur pourquoi on peut factoriser un polynôme quand on connait ses racines. Je fais ça à partir du principe de division euclidienne.

La plupart des gens connaissent le principe de la division euclidienne des entiers, si $n,q$ sont deux entiers, avec $q\neq 0$ la division euclidienne de $n$ par $q$ consiste à écrire $n=mq+r$ où $m$ et $r$ sont entiers et $0\leq r \leq q-1$. On a l'algorithme de division euclidienne (vu en primaire) qui permet de calculer $m$ le quotient et $r$ le reste.

Il se trouve que cet algorithme fonctionne aussi avec les polynômes. Si $P(X)$ et $Q(X)$ sont deux polynômes, avec $Q(X)\neq 0$ alors on peut trouver deux  polynômes $M(X)$ et $R(X)$ tels que $P(X)=Q(X)M(X)+R(X)$, la condition $0\leq r \leq q-1$ devient alors que le degré de $R$ doit être strictement plus petit que le degré de $Q$.

Prenons un polynôme de degré $2$, $P(X)=aX^2+bX+c$ avec $a\neq 0$, on suppose que $x_1$ est racine de $P$ (donc $P(x_1)=0$).
Alors on peut écrire la division euclidienne de $P$ par $Q(X)=X-x_1$ on trouve $P(X)=(X-x_1)M(X)+R(X)$ Puisque $P(X_1)=0$ alors $R(X_1)=0$ et comme $R$ est un polynôme constant (car de degré strictement plus petit que $1$) alors c'est que $R(X)=0$.
Finalement $P(X)=(X-x_1)M(X)$, en considérant le degré, on déduit que $M$ est un polynôme de degré $1$ et vu le coefficient dominant de $P$ on peut écrire $M(X)=a(X-x_2)$ pour un certain $x_2$.

Ainsi on a montré que si $x_1$ est racine de $P(X)=aX^2+bX+c$ alors $P(X)$ peut s'écrire $P(X)=a(X-x_1)(X-x_2)$ pour une certaine valeur de $x_2$ (on vérifie aussi que $P(x_2)=0$, autrement dit $x_2$ est aussi une racine de $P$).

On a réussit à factoriser $P(X)$ connaissant une racine.
Notons que ce procéder fonctionne pour un polynôme de degré quelconque.

PS : la relation $ax_1x_2=c$ peut aider à résoudre l'équation $P(x)=0$ en effet si $P(x)=0$ possède une racine évidente, on peut en déduire la deuxième via cette relation (bon, le cas où la racine évidente vaut $0$ est encore plus facile et à mettre à part). Cette relation peut aussi permettre de vérifier si on ne s'est pas trompé lors de la résolution d'une équation du second degré.

Bonne soirée