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Dans cette annexe je dis un mot sur pourquoi on peut factoriser un polynôme quand on connait ses racines. Je fais ça à partir du principe de division euclidienne.

La plupart des gens connaissent le principe de la division euclidienne des entiers, si $n,q$ sont deux entiers, avec $q\neq 0$ la division euclidienne de $n$ par $q$ consiste à écrire $n=mq+r$ où $m$ et $r$ sont entiers et $0\leq r \leq q-1$. On a l'algorithme de division euclidienne (vu en primaire) qui permet de calculer $m$ le quotient et $r$ le reste.

Il se trouve que cet algorithme fonctionne aussi avec les polynômes. Si $P(X)$ et $Q(X)$ sont deux polynômes, avec $Q(X)\neq 0$ alors on peut trouver deux  polynômes $M(X)$ et $R(X)$ tels que $P(X)=Q(X)M(X)+R(X)$, la condition $0\leq r \leq q-1$ devient alors que le degré de $R$ doit être strictement plus petit que le degré de $Q$.

Prenons un polynôme de degré $2$, $P(X)=aX^2+bX+c$ avec $a\neq 0$, on suppose que $x_1$ est racine de $P$ (donc $P(x_1)=0$).
Alors on peut écrire la division euclidienne de $P$ par $Q(X)=X-x_1$ on trouve $P(X)=(X-x_1)M(X)+R(X)$ Puisque $P(X_1)=0$ alors $R(X_1)=0$ et comme $R$ est un polynôme constant (car de degré strictement plus petit que $1$) alors c'est que $R(X)=0$.
Finalement $P(X)=(X-x_1)M(X)$, en considérant le degré, on déduit que $M$ est un polynôme de degré $1$ et vu le coefficient dominant de $P$ on peut écrire $M(X)=a(X-x_2)$ pour un certain $x_2$.

Ainsi on a montré que si $x_1$ est racine de $P(X)=aX^2+bX+c$ alors $P(X)$ peut s'écrire $P(X)=a(X-x_1)(X-x_2)$ pour une certaine valeur de $x_2$ (on vérifie aussi que $P(x_2)=0$, autrement dit $x_2$ est aussi une racine de $P$).

On a réussit à factoriser $P(X)$ connaissant une racine.
Notons que ce procéder fonctionne pour un polynôme de degré quelconque.