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Bonjour,

Dans un exercice, on pose [tex]E=C^1([0;2018],\mathbb{R})[/tex] et on considère [tex]\|f\|_{\infty}=max_{t\in [0;2018]} |f(t)|[/tex].

La question est de savoir si [tex](E,\|.\|_{\infty})[/tex] est un Banach.
L'indication donnée est la suivante : on considérera la suite de fonction [tex](u_n)_n[/tex] définie par [tex]u_n(x)=\sqrt{x+\frac{1}{2^n}}[/tex] pour tout entier naturel [tex]n[/tex] et pour tout [tex]x\in [0;2018][/tex].

Si l'on donne l'indication, c'est que cette suite est de Cauchy d'éléments de [tex]E[/tex], mais ne converge pas dans [tex]E[/tex], n'est-ce pas ?
Bon, je pars sur cette idée.
Pour tout [tex]n[/tex] et tout [tex]x\in [0;2018][/tex], [tex]u_n\in E[/tex] et on a [tex]\|u_n\|_{\infty}=\sqrt{2018+\frac{1}{2^n}}[/tex] (car pour tout [tex]n[/tex], [tex]u_n[/tex] est continue sur le compact [tex][0;2018][/tex]). Ainsi, [tex]\|u_n\|_{\infty}\to \sqrt{2018}[/tex].
Donc la suite est convergente.

Est-ce que je manque un truc ?

Merci

Bonjour,

On considère [tex]D=D(0,1)[/tex] et un réel [tex]r[/tex] strictement compris entre [tex]0[/tex] et [tex]1[/tex].
Soit [tex]f[/tex] une fonction holomorphe sur [tex]D[/tex] et bornée par [tex]M[/tex] sur le cercle [tex]|z|=r[/tex].
On suppose enfin que [tex]f[/tex] s'annule en au moins un point [tex]w\in D(0,r)[/tex].
Il faut alors montrer que [tex]|f(0)|\le \frac{M|a|}{r-|a|}[/tex].

Bon, je me doute que c'est de la formule de Cauchy dont il est question, dont voici l'énoncé :

Soient [tex]U[/tex] un ouvert étoilé (ou simplement connexe), [tex]C[/tex] un chemin tracé dans [tex]U[/tex], [tex]f[/tex] une fonction holomorphe sur [tex]U[/tex] et [tex]a\in U[/tex] un point n'appartenant pas au support de [tex]C[/tex].
Alors : [tex]f(a)\times ind(C,a)=\frac{1}{2i\pi}\int_C \frac{f(z)}{z-a}dz[/tex].

Ici, en choisissant [tex]U=D(0,r)[/tex], on a alors que [tex]C=C(0,r)[/tex] et donc [tex]ind(\gamma,a)=1[/tex] pour tout [tex]a[/tex] dans le disque ouvert [tex]D(0,r)[/tex]. On peut donc se lancer dans la majoration suivante :

[tex]|f(a)\times ind(C,a)|=|f(a)|\le \frac{1}{2\pi}\int_C \frac{|f(z)|}{|z-a|}dz[/tex]

Or, [tex]|z-a|\ge |z|-|a|=r-|a|[/tex], et donc :

[tex]|f(a)\times ind(C,a)|=|f(a)|\le \frac{M}{2\pi}\int_C \frac{dz}{r-|a|}=\frac{M}{2\pi}\frac{2\pi r}{r-|a|}=\frac{Mr}{r-|a|}[/tex].

Voilà où j'en suis. Je ne vois pas bien pour l'instant comment faire apparaître ce f(0) et avoir en même temps la majoration demandée.

Auriez-vous un indice pour que je puisse avancer ?
Grand merci, et bonne journée :)

Bonjour,

Je ne parviens de trouver de démonstration à cette propriété.

Soient deux fonctions [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] continues par morceaux et [tex]2\pi[/tex]-périodiques et coïncident sauf en un nombre fini de points par intervalle de longueur [tex]2\pi[/tex]. Alors leurs coefficients de Fourier sont égaux.

Auriez-vous une idée, ou une référence ?

Merci !

Bonjour,

Avez-vous un exemple de suite de fonctions non continues, mais qui converge uniformément vers une fonction continue ?

Merci

Bonjour,

Je considère [tex]p[/tex] le projecteur orthogonal de sur [tex]F=\mathbb{R}e_1[/tex] parallèlement à [tex]G=\mathbb{R}e_2[/tex], où [tex](e_1,e_2)[/tex] est la base canonique de [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. J'essaye de déterminer la matrice de [tex]p[/tex] dans cette base.

On montre que pour tout [tex]x[/tex] de [tex]\mathbb{R}^2[/tex], [tex]p_F(x)=(x|e_1)e_1[/tex] car [tex](e_1)[/tex] est une base orthonormée de [tex]F[/tex].
Puis j'évalue en [tex]x=(1,0)[/tex] et [tex]x=(0,1)[/tex], c'est bien ça ?

Merci !