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Vincent62

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Point fixe

Bonjour,

Je cherche à démontrer que si [tex]f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] est continue et strictement décroissante, alors [tex]f[/tex] admet un point fixe.

J'ai procédé par l'absurde. Ainsi, en considérant la fonction continue [tex]g : x\to f(x)-x[/tex], je dis que si [tex]g[/tex] ne s'annule pas, alors soit [tex]g(x)>0[/tex] pour tout [tex]x[/tex] réel, soit le contraire.

Bon, si [tex]g(x)>0[/tex] pour tout réel [tex]x[/tex], alors [tex]f(x)>x[/tex] pour tout réel [tex]x[/tex], et donc en particulier, en passant à la limite lorsque [tex]x\to +\infty[/tex], on obtient que [tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty[/tex] par comparaison.

Par contre, j'ai du mal à me convaincre de mon argument que j'expose ci-dessous.
Puisque [tex]f[/tex] est continue sur [tex]\mathbb{R}[/tex], alors en particulier, elle est continue sur tout segment [tex][a;b][/tex] avec [tex]b>a[/tex]. De plus, puisque [tex]f[/tex] est décroissante sur [tex][a;b][/tex], alors [tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=\inf_{x\in \mathbb{R}}f[/tex]. Et cela permettrait de conclure que l'hypothèse de départ, à savoir que [tex]g[/tex] ne s'annule pas, est fausse.

Ici, est-ce que le principe réside dans le fait que [tex]f[/tex] est continue sur tout segment de [tex]\mathbb{R}[/tex], et que donc, par continuité de [tex]f[/tex], la limite est forcément finie ?

Merci pour vos corrections et remarques !

Dernière modification par Vincent62 (31-05-2023 10:45:41)

Glozi

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Re : Point fixe

Bonjour,
La limite de $f$ en $+\infty$ n'est pas forcément finie, (par exemple $f(x)=-x$). Ensuite je ne comprends pas ce que tu cherches à faire en passant par les segments ?
$f$ est décroissante, donc par exemple $\forall x\geq 0, f(x)\leq f(0)$ et donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)\leq f(0)<\infty$ (la limite existe par limite monotone). Pas besoin de la continuité ici.
Où si tu préfères, si tu sais que $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\inf_{x\in \mathbb{R}}f(x)$ alors tu peux dire $\lim_{x\to +\infty}f(x) \leq f(42)<\infty$.

(bref, tout ça pour dire qu'une fonction décroissante ne peut avoir comme limite $+\infty$ en $+\infty$)

Bonne journée

Vincent62

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Re : Point fixe

Merci Glozi !

Est-ce que [tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=\inf_{x\in \mathbb{R}}f(x)[/tex] est toujours vrai ?

Dernière modification par Vincent62 (02-06-2023 13:13:39)

Glozi

Invité

Re : Point fixe

Bonjour,
Oui (si $f$ est décroissante), c'est un exercice à faire (en fait plutôt qu'un exercice, il s'agit plutôt de la preuve du théorème de la limite monotone).
Bonne journée

Vincent62

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Re : Point fixe

Merci, je vais regarder ça.

Vincent62

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Re : Point fixe

Allez, je tente.

Soit [tex]f[/tex] une fonction décroissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex]. Supposons dans un premier temps que [tex]f[/tex] soit minorée. Alors [tex]f(\mathbb{R})[/tex] est une partie minorée de [tex]\mathbb{R}[/tex], et elle admet donc une borne inférieure finie, que je note [tex]L[/tex].
Par définition de la borne inférieure, pour tout [tex]\epsilon>0[/tex], il existe un [tex]x_0[/tex] réel tel que [tex]L\le f(x_0)\le L+\epsilon[/tex].
Ainsi, pour [tex]x\ge x_0[/tex], et par décroissance de [tex]f[/tex], on obtient que [tex]L\le f(x)\le f(x_0)\le L+\epsilon[/tex].
Ainsi, [tex]\forall \epsilon>0, \exists x_0\in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R}, x\ge x_0[/tex] implique que [tex]|f(x)-L|\le \epsilon[/tex], ce qui signifie que [tex]\lim_{x\to +\infty} f(x)=L[/tex].

Maintenant, si [tex]f[/tex] n'est pas minorée sur [tex]\mathbb{R}[/tex], alors pour tout [tex]M[/tex] réel, il existe un [tex]x_0[/tex] réel tel que [tex]f(x_0)\le M[/tex].
Ainsi, pour [tex]x\ge x_0[/tex], on a par décroissance de [tex]f[/tex] que [tex]f(x)\le f(x_0)\le M[/tex], et donc [tex]\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty[/tex].

Donc soit limite cherchée est finie, soit elle vaut [tex]-\infty[/tex].

Dernière modification par Vincent62 (02-06-2023 19:35:56)

Glozi

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Re : Point fixe

Exactement, c'est bien rédigé, bravo :)

bridgslam

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Re : Point fixe

Bonjour

x' > f(x) > x => f(x') > x' > f(x) contradictoire .

Même preuve pour l'autre inégalité, en renversant toutes les inégalités.

A.

bridgslam

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Re : Point fixe

Bonjour,

D'ailleurs en notant R la relation d'ordre ou sa converse,
On fait la preuve en un seul tour de moulinette:
Si pour tout x , f(x) R x, alors
x' R f(x) => .... ce que j'ai déjà écrit, en remplaçant < par R.
Donc il existe un point fixe.

A.