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Karine

Invité

Suite réccurente

Bonjour,
Dans les suites réccurentes, dans le cours , on a :
Si Un+1=f(Un) avec
Un converge
f continue sur un intervalle I tel que f(I) c I
Un0 le premier terme est dans I

Notre prof nous a dit qu'il faut ajouter que I est fermé , et si on l'ajoute pas , il faut ajouter que la limite appartient à I .
Ma question c'est pourquoi ? Et est t-il nécessaire d'ajouter l appartient à I ?

Merci

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : Suite réccurente

Bonjour,

Par hypothèse, on a [tex]\lim_{n\to +\infty} u_n=L[/tex].
Si on suppose que [tex]f[/tex] est continue sur [tex]I[/tex], et si on veut passer l'égalité ci-dessus à [tex]f[/tex], il faut que [tex]u_n\in I[/tex] pour tout [tex]n[/tex] et que [tex]L\in I[/tex].
Si [tex]f(I)\subset I[/tex], et que [tex]u_n\in I[/tex] pour tout [tex]n[/tex], c'est gagné, et si on suppose que [tex]I[/tex] est fermé, alors cela implique que toute limite d'éléments de [tex]I[/tex] est dans [tex]I[/tex], et c'est gagné aussi.

Sauf erreur(s) !