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Vincent62

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Projection orthogonale

Bonjour,

Je considère [tex]p[/tex] le projecteur orthogonal de sur [tex]F=\mathbb{R}e_1[/tex] parallèlement à [tex]G=\mathbb{R}e_2[/tex], où [tex](e_1,e_2)[/tex] est la base canonique de [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. J'essaye de déterminer la matrice de [tex]p[/tex] dans cette base.

On montre que pour tout [tex]x[/tex] de [tex]\mathbb{R}^2[/tex], [tex]p_F(x)=(x|e_1)e_1[/tex] car [tex](e_1)[/tex] est une base orthonormée de [tex]F[/tex].
Puis j'évalue en [tex]x=(1,0)[/tex] et [tex]x=(0,1)[/tex], c'est bien ça ?

Merci !

Dernière modification par Vincent62 (14-05-2023 09:28:38)

Zebulor

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Re : Projection orthogonale

Rebonjour,
Tu parles de base orthonormée de $F$, alors que $F$ n'est engendré que par un seul vecteur $e_1$.
Simplement en partant de $p(e_1)$ et $p(e_2)$ exprimés dans la base $(e_1,e_2)$, tu peux trouver la matrice $p$ dont les vecteurs colonnes sont formés par $p(e_1)$ et $p(e_2)$.

Cette matrice te permet ensuite de trouver la projection de n'importe quel vecteur de $\mathbb R^{2}$.. ici le cas est simple, si bien qu'on pourrait se passer de matrice pour ça..

Dernière modification par Zebulor (14-05-2023 21:14:41)

Vincent62

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Re : Projection orthogonale

Merci Zebulor,

Je suis d'accord, et je calcule donc [tex]p(e_1)[/tex] à l'aide de la formule que j'ai donnée ?

Zebulor

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Re : Projection orthogonale

re,
je modifie ma réponse initiale :
pas sur qu'il y ait besoin de "calcul" ici : on projette sur $F$. Quelle est donc l'image de $e_1$ ? par extension quelle est l'image de n'importe quel vecteur de $F$?
Sachant que la projection se fait parallèlement à $e_2$ : Mêmes questions  pour ce vecteur $e_2$ ..

Tu peux faire un schéma pour visualiser à quoi correspond $p$ pour fixer les idées...

Je n'aime pas trop faire de pub ici mais j'aime bien les explications de cet enseignant sur les projecteurs :
https://www.youtube.com/watch?v=Ii0ry5gsRoc

Dernière modification par Zebulor (14-05-2023 21:21:50)

Vincent62

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Re : Projection orthogonale

Bonjour Zebulor,

Effectivement, pas besoin de calculs ici.
D'autant plus que l'espace ambiant n'est pas supposé euclidien, donc je n'ai pas accès au produit scalaire.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Projection orthogonale

Bonjour,
Mezalor, quel sens a "projection orthogonale" si l'espace n'est pas supposé euclidien ? Aurais-tu interprété un énoncé à ta façon ?