Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut vrouvrou,

Modulo les erreurs d'écriture ton adaptation me semble correcte. Attention car des écritures comme [tex]\rho(a_1(\varphi_{k+1})_1(x))[/tex] et [tex]f_k(x)\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x)[/tex] n'ont pas de sens.
Un conseil pour éviter de s'y perdre : ne fais pas comme dans le texte, choisis des notations différentes pour les variables dans [tex]M[/tex] et dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Par exemple [tex]p\in M[/tex] et [tex]x\in\mathbb{R}^n[/tex]. Tu obtiens alors [tex]f_k(p)=f_k\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x)[/tex], etc.

Pour l'étape n, c'est un peu le même principe que pour l'étape 0 : à l'issue de la dernière étape, la fonction est régularisée sur [tex]\cup_{i=1}^nK_i[/tex], autrement dit sur [tex]M[/tex] tout entier.

GK

Plop vrouvrou,

Décidément, tu vas nous sortir tous les théorèmes de la théorie de Morse ! ^^ Cette fois-ci, c'est la densité des fonctions de Morse. (En fait c'est un peu mieux que ça : les fonctions de Morse sont génériques. Passons.)

A priori il manque en effet une donnée importante dans cette démonstration : les [tex]\rho_i[/tex] sont des fonctions plateau adaptées au rétrécissement [tex]K_i[/tex], c'est-à-dire que chaque [tex]\rho_i=1[/tex] sur [tex]K_i[/tex] et [tex]\rho_i=0[/tex] en dehors de [tex]U_i[/tex].
Le reste n'est qu'une histoire de calcul diff et du coupage d'[tex]\epsilon[/tex] en quatre.

Bon courage à toi, la théorie de Morse est ardue mais vraiment magnifique.

GK

(>_<) J'ai déjà répondu à ces deux questions.

Dans cette partie on t'explique pourquoi le flot est un groupe à 1 param. Moralement, appliquer [tex]\varphi_t[/tex] en un point revient à suivre les orbites du champ X pendant une durée t, cette relation est donc une évidence (dans le cas autonome hein).

Mouais, la vieille excuse, c'est la faute du prof xD Tu fais des études supérieures mon bonhomme, c'est à toi de te bouger pour comprendre les choses. Es-tu allé demander de l'aide à ton prof ? ou à un autre prof ? (Je te promets qu'ils ne vont pas te manger.)
Si tu veux travailler tout seul, voilà deux méthodes efficaces :
1) google "cours calcul différentiel flot" ça règle le problème pour le flot.
2) ou encore mieux, la bonne vieille méthode : BU, rayon "calcul diff", tu regardes les glossaires et tu cherches "flot".
Puis tu itères le procédé avec chaque mot que tu ne comprends pas. Si je ne me trompe c'est ça le travail qu'on te demande de faire.

Je vais te laisser régler tout seul le lien entre ED - Champ de vecteurs - Flot, et te proposer un exercice pour comprendre comment on transporte les solutions d'une ED.
Soit [tex]X:U\to\mathbb{R}^n[/tex] un champ de vecteurs défini sur un ouvert de [tex]\mathbb{R}^n[/tex], et [tex]f:U\to V[/tex] un difféo. Via f, on peut "pousser en avant" le champ X, en posant : [tex]Y(q)=f_*X(q) = Df_{f^{-1}(q)}\cdot X_{f^{-1}(q)}[/tex] (= on part de [tex]q\in V[/tex], on va en [tex]f^{-1}(q)\in U[/tex], on récupère X, et on le pousse en avant avec Df pour revenir en q).
Exercice : vérifier que l'ensemble des solutions de [tex]\dot{z}=Y(z)[/tex] dans V correspond à l'ensemble des [tex]f\circ y[/tex], où y est une solution de [tex]\dot{y}=X(y)[/tex] dans U.

Ensuite il ne te restera plus qu'à appliquer ça avec f = une carte et tu devrais résoudre ton problème.

GK

Plop vrouvrou,

J'ai saisi, tu veux une explication de texte. Ce que j'ai essayé de te faire comprendre par mes questions c'est que tu ne t'en sortiras pas si tu ne prends pas de recul par rapport au texte pour te l'approprier. En définitive, quand tu lis des maths peu importe ce qu'a voulu dire l'auteur précisément (il peut même dire des bêtises parfois !), ce qui compte c'est l'interprétation personnelle que tu en as.

Bref. Revenons-en à ta question. D'abord as-tu bien compris ou Milnor veut en venir ? Il commence par expliquer comment chaque flot [tex](\varphi_t)_t[/tex] est lié à son générateur infinitésimal [tex]X[/tex] (qui est un champ de vecteur sur la variété). Ensuite, réciproquement, on veut montrer dans le lemme que chaque champ (sous une certaine condition de non-explosion, ici [tex]X=0[/tex] en dehors d'un compact) peut s'intégrer en un flot. Donc bien entendu, il n'est pas question de parler de [tex]d\varphi[/tex] puisqu'on est en train d'essayer de construire [tex]\varphi[/tex] !!! En outre je t'ai signalé que les objets considérés étaient [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex], donc ton ami Lipschitz, là... tu le ranges dans ton petit mouchoir, et tu l'oublies au fond de ta poche. C'est déjà assez compliqué avec du [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex].

Comme tu l'as lu dans la suite (parce que tu as lu la suite, n'est-ce pas ?) le but est de recouvrir le compact avec des petits ouverts où le flot de [tex]X[/tex] est défini pour des temps petits. Donc on peut travailler localement au voisinage de chaque point, ensuite la compacité nous permettra de recoller les solutions sans que notre travail se noie dans le vide.
Maintenant je vais te traduire l'esprit de ce que Milnor a mis entre parenthèses : "Vous qui comme moi êtes habitué à manipuler les variétés, vous savez que localement [tex]M=\mathbb{R}^n[/tex] et que vous pourrez trouver dans la littérature classique des théorèmes pour intégrer localement des champs de vecteurs dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Donc vous pouvez intégrer localement des champs sur [tex]M[/tex].".

C'est donc à TOI, lecteur, qu'il incombe de faire cet exercice. Si tu veux comprendre la preuve, tu DOIS donc faire les petites manipulations que je t'ai indiquées : exprimer [tex]X[/tex] dans la carte, regarder ce que devient l'ED dedans, regarder pourquoi une solution dans la carte induit une solution sur la variété, etc. Si tu ne mets pas les mains dans le cambouis, toutes les explications du monde ne te seront d'aucune utilité.
Je commence. Soit [tex]p\in M[/tex] un point de la variété, et [tex]c:U\to V\subset\mathbb{R}^n[/tex] une carte en [tex]p[/tex]. Je note [tex]\overline{X}[/tex] le poussé en avant du champ [tex]X[/tex] par [tex]c[/tex] (le champ transporté). Comment s'exprime [tex]\overline{X}[/tex] en fonction de [tex]X[/tex] ? Que devient l'équa diff [tex]\partial_t\varphi_t(q)=X_{\varphi_t(q)}[/tex] ?

Essaie de faire les calculs, et si tu coinces je serai là pour te débloquer.

GK
PS : est-ce que tu sais ce qu'est un flot au moins ?

Je ne te cacherai pas que je m'en doutais un peu ;-)

En premier lieu il faut que tu arrives à faire la part des choses entre la partie conceptuelle (variété théorique, fonction de Morse générale, etc) et la partie calculatoire. Sinon la partie conceptuelle va embrumer ton esprit pendant les calculs et tu ne t'en sortiras jamais.
Ici par exmple [tex]\frac{d\varphi}{dt}[/tex] alias [tex]T\varphi\cdot \partial_t[/tex] est un champ de vecteurs sur [tex]M[/tex], autrement dit une application [tex]M\mapsto TM[/tex] (une section du fibré tangent pour être précis). Alors dire qu'elle est Lipschitz... il faudrait déjà savoir quelles sont les "normes" sur [tex]M[/tex] et sur [tex]TM[/tex].

1) Tuer l'aspect variété
Les deux résultats sur lesquels tu as posé des questions (à savoir le lemme de Morse et l'existence locale de flot) sont des résultats locaux (= autour d'un point donné). Dans le monde des variétés, tu peux donc te placer dans une carte autour de ton point pour travailler, autrement dit via la carte tu peux supposer que [tex]M=\mathbb{R}^n[/tex]. Du coup, la partie conceptuelle ... apu, reste seulement à comprendre les calculs.

2) Comprendre comment ça marche dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]
Pour ce qui est de l'existence locale de flot, c'est comme tu l'as justement deviné Cauchy-Lipschitz (ou bien si tu es un super-expert avec un champ de vecteurs peu régulier, Cauchy-Peano). Dans les textes que tu cites, textes de topologie différentielle, on ne s'embarrasse pas de fioritures : les objets sont "lisses", autrement sauf précision explicite tout est [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex].
Donc via ta carte, tu as un champ de vecteurs lisse dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et tu veux savoir s'il a un flot local... bon bin Cauchy-Lipschitz (cas [tex]\mathcal{C}^1[/tex]) et on n'en parle plus.

Si tu veux des explications analogues sur le lemme de Morse, je t'invite à d'abord y réfléchir dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] en oubliant l'aspect variété, et si tu coinces toujours on en reparle dans le sujet ad hoc. Entre temps je vais aller consulter mon Milnor pour voir ce mystérieux lemme 2.4... et si tu ne comprends pas la méthode américaine je te ferai la russe ;)

Bon courage à toi,
GK

Tout à fait.

Salut à toi chini.

Une question de géométrie non résolue après 2 jours ce n'est pas normal :) Pourrais-tu nous dire quelles sont tes définitions de condition de cône et de boule extérieure ? Pour moi la différence majeure vient du fait que la condition de cône requiert un cône indépendant du point. Dès lors les ensembles avec des frontières de type cusp vérifient la condition de boule extérieure, mais pas celle du cône (intérieur) : le cône finit par rester coincé dans le cusp. (Pense à l'épigraphe de [tex]t\mapsto\sqrt{|t|}[/tex].)

N'nuit.

C'est un peu le souci Samo, la façon dont tu poses ta question amène nécessairement une réponse de niveau très élevé : du point de vue des maths, c'est du calcul différentiel extérieur sur les variétés.

Pour la normale, c'est exactement ce à quoi tu penses : [tex]\partial A[/tex] est une hypersurface (supposément A est l'intérieur d'une variété à bord plongée), ses espaces tangents sont donc des hyperplans. Leur orthogonal pour le produit scalaire standard de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] est de dimension 1, et peut donc être dirigé par *deux* vecteurs unitaires : l'un qui pointe vers l'intérieur de A, et l'autre vers l'extérieur de A. Ici, tu t'intéresses à la normale sortante N(x), celle qui pointe vers l'extérieur.
Ensuite si je ne dis pas de bêtises la mesure est celle induite par la forme volume [tex]i_N(\det)[/tex], où [tex]i_N[/tex] désigne le produit intérieur. Je sais, ce n'est toujours pas clair pour toi... mais c'est ça la réponse à ta question.

En fait l'intégation étant locale, tu peux réfléchir comme si tout se passait pour [tex]A = \mathbb{R}_-\times\mathbb{R}^{n-1}[/tex]. Dans ce cas pour [tex]x=(0,x_2,\ldots,x_n)\in\partial A[/tex], tu as [tex]N(x)=(1,0,\ldots,0)[/tex], et la mesure que tu veux est la mesure standard sur [tex]\mathbb{R}^{n-1}\equiv\{0\}\times\mathbb{R}^{n-1}[/tex] (modulo quelques soucis de signes concernant l'orientation). Si A est autre chose, tu utilises comme l'a dit Roro une paramétrisation locale, tu transportes le tout sur ta variété à bord, et tout marche pareil.
Remarque : en fait on se moque que la normale soit normale, pourvu qu'on fasse le bon produit intérieur pour avoir la mesure qui va avec.

Si tu cherches des références, tous les bouquins qui font l'intégration sur les variétés traitent de ça. Les mots-clés sont : Formule de Stokes, Formule d'Ostrogradski (Green-), Théorème de Flux-Divergence.

Salut à toi ozvessaillus,

En effet tu sembles assez confusé ^^

En langage courant, ton argument est :
"Comme le logarithme est bien plus petit que l'inverse, et comme l'inverse est trop gros pour être intégré, j'en déduis que le logarithme est lui aussi trop gros pour être intégré."

Vois-tu la bourde dans cette affirmation ?

GK

Bonjour à toi Lonn,

Si tu as bien compris le cours, le plus simple serait encore que tu nous donnes un exercice sur lequel tu sèches. Si tu n'as aucun exercice sur les fonctions de Liapounov en voici un très simple, purement algébrique :

On se donne l'ED suivante dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex] :
[tex]\left\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=\lambda x \\ \dot{y}(t)=\mu y\end{array}\right.[/tex]
où disons [tex]\lambda<\mu<0[/tex] (de sorte que 0 est un point d'équilibre stable), et [tex]Q=\left[\begin{array}{cc}a & b \\ b & c\end{array}\right][/tex] une forme quadratique (i.e. [tex]Q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2[/tex]). À quelle(s) condition(s) sur les données [tex]Q[/tex] est-elle de Liapounov pour ce système ?

Si celui-ci ne te pose pas de problème, alors tu maîtrises le cours. La grosse difficulté dans la pratique des fonctions de Liapounov, c'est qu'il faut parvernir à les construire avant de les utiliser... et là bin c'est souvent beaucoup de système D (linéarisation+bidouillage).

GK

EDIT : valeurs modifiées, j'ai confondu opérateur et champ de vecteurs ^^

Bonjour à toi Euler88 !

Je vois un problème d'algèbre élémentaire alors je saute dessus :)

Tout d'abord, je te conseille de vérifier à la main que [tex]G[/tex] est bien un groupe, afin de te familiariser avec les manipulations de variables. Ensuite puisque [tex]G[/tex] est d'ordre 3 et donc monogène, il faut et il suffit de trouver les invariants sous l'action d'un des générateurs, par exemple [tex]\sigma_2[/tex].

J'ai procédé comme une brute par coefficients indéterminés, et obtenu une réponse assez rapide grâce à l'unicité du développement en parties polaires d'une fraction rationnelle (l'équivalent sur un corps quelconque de la décomposition en éléments simples sur [tex]\mathbb{R}[/tex] ou [tex]\mathbb{C}[/tex]).

Cela t'éclaire-t-il ?