Question sur les diffeomorphisme

vrouvrou · 18-04-2013 16:04:11

Salut;
j'ai une petite question : es que la dérivé d'un difféomorphisme est au moins de classe [tex]C^1[/tex].

S'il vous plait
Merci.

Roro · 18-04-2013 16:13:50

Bonjour,

J'aurai envie de dire ça dépend si tu parles de C¹ difféomorphisme ou de C² difféomorphisme...
En général, quand on a un "difféomorphisme, il faut justement préciser sa classe (au moins de classe C¹ : si il est seulement continu, on parle d'homéomorphisme). Mais ils ne sont pas tous de classe C².

Roro.

vrouvrou · 18-04-2013 16:29:54

dans l'énoncé il est dit que [tex]\varphi : M\times \mathbb{R} \rightarrow M[/tex] , tel que pour chaque [tex]t\in \mathbb{R}[/tex] , l'application [tex]\varphi_t:M \rightarrow M[/tex] définit par [tex]\varphi_t(q)=\varphi(t,q)[/tex] est un difféomorphisme sur [tex]M[/tex] . ([tex]M[/tex] est une variété )

plus loin..., il est dit que pour un champ de vecteur [tex]X[/tex] sur[tex] M[/tex] : [tex]\frac{d\varphi_t(q)}{dt}=X_{\varphi_t(q)} , \varphi_0(q)=q[/tex] , admet une unique solution locale .

et je veux savoir si [tex]\frac{d\varphi}{dt}[/tex] est localement lipschitzien

Merci

Roro · 18-04-2013 22:50:36

Ca doit dépendre de la régularité de ton champ de vecteur ?

Roro.

Groupoid Kid · 19-04-2013 14:18:06

Plop tous les deux,

à mon avis tu manques un peu de rigueur vrouvrou, ça part un peu dans tous les sens ton affaire. Sais-tu ce qu'est exactement [tex]\frac{d\varphi}{dt}[/tex] (qui serait d'ailleurs plutôt notée [tex]\frac{\partial\varphi}{\partial t}[/tex] ou [tex]\partial_t\varphi[/tex] ici) quand [tex]M[/tex] est une variété ? Que dois-tu supposer sur [tex]M[/tex] pour pouvoir ne serait-ce que parler du caractère Lipschitz de [tex]\frac{d\varphi}{dt}[/tex] ?

En outre, ta question est locale. Que peut-on faire quand on veut travailler localement sur une variété ? Que devient ta question dans ce cadre ?

vrouvrou · 19-04-2013 15:11:39

Re;
il est vrai que je ne suis pas doué dans ce domaine de variété ,mais pour vous mettre dans le contexte : toute cette histoire vien de la démonstration d'un lemme (lemme 2.4 dans le livre Morse theory de Milnor ) ou bien a la page 16 de :
http://www.google.dz/url?sa=t&rct=j&q=& … 3924,d.bGE

je n'ai pas compris cette démonstration , et la question que j'ai posé est en relation avec cette démonstration.

Merci

Groupoid Kid · 19-04-2013 15:50:00

Je ne te cacherai pas que je m'en doutais un peu ;-)

En premier lieu il faut que tu arrives à faire la part des choses entre la partie conceptuelle (variété théorique, fonction de Morse générale, etc) et la partie calculatoire. Sinon la partie conceptuelle va embrumer ton esprit pendant les calculs et tu ne t'en sortiras jamais.
Ici par exmple [tex]\frac{d\varphi}{dt}[/tex] alias [tex]T\varphi\cdot \partial_t[/tex] est un champ de vecteurs sur [tex]M[/tex], autrement dit une application [tex]M\mapsto TM[/tex] (une section du fibré tangent pour être précis). Alors dire qu'elle est Lipschitz... il faudrait déjà savoir quelles sont les "normes" sur [tex]M[/tex] et sur [tex]TM[/tex].

1) Tuer l'aspect variété
Les deux résultats sur lesquels tu as posé des questions (à savoir le lemme de Morse et l'existence locale de flot) sont des résultats locaux (= autour d'un point donné). Dans le monde des variétés, tu peux donc te placer dans une carte autour de ton point pour travailler, autrement dit via la carte tu peux supposer que [tex]M=\mathbb{R}^n[/tex]. Du coup, la partie conceptuelle ... apu, reste seulement à comprendre les calculs.

2) Comprendre comment ça marche dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]
Pour ce qui est de l'existence locale de flot, c'est comme tu l'as justement deviné Cauchy-Lipschitz (ou bien si tu es un super-expert avec un champ de vecteurs peu régulier, Cauchy-Peano). Dans les textes que tu cites, textes de topologie différentielle, on ne s'embarrasse pas de fioritures : les objets sont "lisses", autrement sauf précision explicite tout est [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex].
Donc via ta carte, tu as un champ de vecteurs lisse dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et tu veux savoir s'il a un flot local... bon bin Cauchy-Lipschitz (cas [tex]\mathcal{C}^1[/tex]) et on n'en parle plus.

Si tu veux des explications analogues sur le lemme de Morse, je t'invite à d'abord y réfléchir dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] en oubliant l'aspect variété, et si tu coinces toujours on en reparle dans le sujet ad hoc. Entre temps je vais aller consulter mon Milnor pour voir ce mystérieux lemme 2.4... et si tu ne comprends pas la méthode américaine je te ferai la russe ;)

Bon courage à toi,
GK

vrouvrou · 19-04-2013 16:10:01

Ok, merci
donc c'est Cauchy Lipschitz qui nous donne le résultat

vrouvrou · 23-04-2013 08:05:53

Re;

je suis revenue sur ce sujet et je n;'arrive pas a écrire ;
je dits que [tex]d\varphi[/tex] est localement lipschitzien ou [tex]X[/tex] (champ de vecteurs lisse ) qui est locallement lipschitzien ?

s'il vous plait
Merci.

Groupoid Kid · 23-04-2013 12:17:09

Re aussi,

Tu veux dire que tu n'arrives pas à rédiger la preuve ? Procédons par étapes dans ce cas :
- Quel est l'énoncé exact du théorème que tu veux utiliser ? (Quel Cauchy-Lipschitz, avec quelles hypothèses, quelle conclusion ?)
- C'est quoi [tex]d\varphi[/tex] ?
- Au fait ça veut dire quoi localement Lipschitzien ?
- Travailles-tu encore sur [tex]M[/tex], ou bien es-tu passé via une carte à [tex]M=\mathbb{R}^n[/tex] ? Dans ce cas as-tu fait l'exercice qui consiste à vérifier que l'existence locale d'un flot dans la carte engendre la même chose sur la variété ? (En clair : comment les objets se transportent-ils entre la carte et la variété ? Attention les objets de nature différente se transportent différemment.)

À te lire,
GK

Dernière modification par Groupoid Kid (23-04-2013 12:17:42)

vrouvrou · 23-04-2013 18:02:58

Bon alors doucement doucement
voila c'est le lemme 2.4 du livre "Morse theory" par Milnor :page 10
"LEMMA 2.4. A smooth vector field on M which vanishes outside of a compact set K C M generates a unique 1-parameter group of diffeomorphisms of M."
et voila comment c'est démontré :
Pour n’importe quelle courbe c tracée su M, on définit le vecteur vitesse [tex]\displaystyle\frac{dc}{dt} \in T_{c(t)} M[/tex]
par
[tex]\displaystyle\frac{dc}{dt}(f) = lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(c(t + h)) − f(c(t))}{h}[/tex]

Soit[tex] \varphi[/tex] un groupe de difféomorphisme à 1 paramètre généré par le champ de vecteurs X.

Alors pour chaque q dans M la courbe qui à t associe [tex]\varphi_t(q)[/tex] satisfait l’équation
[tex]\displaystyle\frac{d\varphi_t(q)}{dt}= X_{\varphi_t(q)}[/tex],
avec comme condition initiale [tex]\varphi_0(q) = q[/tex].
De par la définition précédente
[tex]X_{\varphi_t(q)}(f) = \frac{d\varphi_t(q)}{dt} (f) = lim_{h\rightarrow0}\frac{f(\varphi_{t+h(q)})−f(\varphi_{t}(q))}{h}= lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(\varphi_{h}(p))−f(p)}{h}= X_p(f)[/tex],
où [tex]p = \varphi_t(q)[/tex].
Mais on sait que cette équation différentielle a localement une unique solution qui dépend des conditions initiales. Donc pour chaque point de M, il existe un voisinage U et un [tex]\varepsilon> 0[/tex] tels que
[tex]\frac{d\varphi_t(q)}{dt}= X_{\varphi_t(q)}, \varphi_0(q) = q[/tex]
a une unique solution pour [tex]q \in U, |t| < \varepsilon[/tex]

Merci

Dernière modification par vrouvrou (24-04-2013 08:22:26)

vrouvrou · 24-04-2013 08:25:46

En claire ma question est : pourquoi l’équation différentielle admet une unique solution locale .
(la démonstration ne s’arrête pas ....)

Groupoid Kid · 25-04-2013 16:11:58

Plop vrouvrou,

J'ai saisi, tu veux une explication de texte. Ce que j'ai essayé de te faire comprendre par mes questions c'est que tu ne t'en sortiras pas si tu ne prends pas de recul par rapport au texte pour te l'approprier. En définitive, quand tu lis des maths peu importe ce qu'a voulu dire l'auteur précisément (il peut même dire des bêtises parfois !), ce qui compte c'est l'interprétation personnelle que tu en as.

Bref. Revenons-en à ta question. D'abord as-tu bien compris ou Milnor veut en venir ? Il commence par expliquer comment chaque flot [tex](\varphi_t)_t[/tex] est lié à son générateur infinitésimal [tex]X[/tex] (qui est un champ de vecteur sur la variété). Ensuite, réciproquement, on veut montrer dans le lemme que chaque champ (sous une certaine condition de non-explosion, ici [tex]X=0[/tex] en dehors d'un compact) peut s'intégrer en un flot. Donc bien entendu, il n'est pas question de parler de [tex]d\varphi[/tex] puisqu'on est en train d'essayer de construire [tex]\varphi[/tex] !!! En outre je t'ai signalé que les objets considérés étaient [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex], donc ton ami Lipschitz, là... tu le ranges dans ton petit mouchoir, et tu l'oublies au fond de ta poche. C'est déjà assez compliqué avec du [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex].

Comme tu l'as lu dans la suite (parce que tu as lu la suite, n'est-ce pas ?) le but est de recouvrir le compact avec des petits ouverts où le flot de [tex]X[/tex] est défini pour des temps petits. Donc on peut travailler localement au voisinage de chaque point, ensuite la compacité nous permettra de recoller les solutions sans que notre travail se noie dans le vide.
Maintenant je vais te traduire l'esprit de ce que Milnor a mis entre parenthèses : "Vous qui comme moi êtes habitué à manipuler les variétés, vous savez que localement [tex]M=\mathbb{R}^n[/tex] et que vous pourrez trouver dans la littérature classique des théorèmes pour intégrer localement des champs de vecteurs dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Donc vous pouvez intégrer localement des champs sur [tex]M[/tex].".

C'est donc à TOI, lecteur, qu'il incombe de faire cet exercice. Si tu veux comprendre la preuve, tu DOIS donc faire les petites manipulations que je t'ai indiquées : exprimer [tex]X[/tex] dans la carte, regarder ce que devient l'ED dedans, regarder pourquoi une solution dans la carte induit une solution sur la variété, etc. Si tu ne mets pas les mains dans le cambouis, toutes les explications du monde ne te seront d'aucune utilité.
Je commence. Soit [tex]p\in M[/tex] un point de la variété, et [tex]c:U\to V\subset\mathbb{R}^n[/tex] une carte en [tex]p[/tex]. Je note [tex]\overline{X}[/tex] le poussé en avant du champ [tex]X[/tex] par [tex]c[/tex] (le champ transporté). Comment s'exprime [tex]\overline{X}[/tex] en fonction de [tex]X[/tex] ? Que devient l'équa diff [tex]\partial_t\varphi_t(q)=X_{\varphi_t(q)}[/tex] ?

Essaie de faire les calculs, et si tu coinces je serai là pour te débloquer.

GK
PS : est-ce que tu sais ce qu'est un flot au moins ?

vrouvrou · 25-04-2013 16:26:45

Non je ne connais malheureusement pas ce que c'est un flot (mathématiquement )

vrouvrou · 25-04-2013 16:59:35

c'est ça ? http://fr.wikipedia.org/wiki/Flot_%28ma … atiques%29

Groupoid Kid · 25-04-2013 23:50:11

Oui, c'est bien ça...

Dis donc, c'est plutôt ambitieux de vouloir faire de la topo diff (théorie de Morse, fin de M2) sans connaître les bases du calcul diff / géo diff (M1). À mon avis il faudrait commencer par te chercher un cours de géo diff de base : qu'est-ce qu'un champ de vecteurs, quel rapport avec les ED, qu'est-ce qu'une orbite d'ED autonome, un portrait de phase, comment peut-on transporter un champ de vecteurs par un difféo, que signifie faire un changement de variable dans une équa diff, qu'est-ce qu'une variété, ce genre de trucs. Et avant de parler de flot, regarder ce qu'est une résolvante pour les ED linéaires peut aider.

vrouvrou · 26-04-2013 09:26:11

je connais le portrait d'orbite de phase , l'orbite d'une ED autonome ,...
mais je n'ai aucune base sur la géométrie différentielle (notre prof n'étais pas bon, personne ne comprenais chez lui ), mais pour un exposé c'est pas un tirage au sort que je suis tombé sur ce sujet , le prof a dit que c'est un sujet très difficile est donc personne n'a voulue l’échanger avec moi .
et le 5 ou le 13 mais je doit exposer et je n'ai pas compris comment expliquer le fait que l’équation différentielle admet une solution locale ...

Groupoid Kid · 26-04-2013 13:49:57

Mouais, la vieille excuse, c'est la faute du prof xD Tu fais des études supérieures mon bonhomme, c'est à toi de te bouger pour comprendre les choses. Es-tu allé demander de l'aide à ton prof ? ou à un autre prof ? (Je te promets qu'ils ne vont pas te manger.)
Si tu veux travailler tout seul, voilà deux méthodes efficaces :
1) google "cours calcul différentiel flot" ça règle le problème pour le flot.
2) ou encore mieux, la bonne vieille méthode : BU, rayon "calcul diff", tu regardes les glossaires et tu cherches "flot".
Puis tu itères le procédé avec chaque mot que tu ne comprends pas. Si je ne me trompe c'est ça le travail qu'on te demande de faire.

Je vais te laisser régler tout seul le lien entre ED - Champ de vecteurs - Flot, et te proposer un exercice pour comprendre comment on transporte les solutions d'une ED.
Soit [tex]X:U\to\mathbb{R}^n[/tex] un champ de vecteurs défini sur un ouvert de [tex]\mathbb{R}^n[/tex], et [tex]f:U\to V[/tex] un difféo. Via f, on peut "pousser en avant" le champ X, en posant : [tex]Y(q)=f_*X(q) = Df_{f^{-1}(q)}\cdot X_{f^{-1}(q)}[/tex] (= on part de [tex]q\in V[/tex], on va en [tex]f^{-1}(q)\in U[/tex], on récupère X, et on le pousse en avant avec Df pour revenir en q).
Exercice : vérifier que l'ensemble des solutions de [tex]\dot{z}=Y(z)[/tex] dans V correspond à l'ensemble des [tex]f\circ y[/tex], où y est une solution de [tex]\dot{y}=X(y)[/tex] dans U.

Ensuite il ne te restera plus qu'à appliquer ça avec f = une carte et tu devrais résoudre ton problème.

GK

Dernière modification par Groupoid Kid (26-04-2013 13:51:03)

vrouvrou · 26-04-2013 15:31:27

Rien a faire je n'ai rien compris a votre exercice, c'est premiéère fois que je voie vois ça !

vrouvrou · 26-04-2013 18:41:29

Je croits que le théorème 3.13 explique bien la situation
http://www.google.dz/url?sa=t&rct=j&q=& … 5796,d.ZGU

vrouvrou · 26-04-2013 20:07:53

En fait dans la démonstration [tex]\varphi_t(q)[/tex] est le flot et X est le champ de vecteurs lisse .

Groupoid Kid · 28-04-2013 10:42:53

Jolie trouvaille ce cours ! ;)

Les éléments qui t'intéressent sont :
- Le paragraphe "3.2.1. Champs de vecteurs et flot.", pour les pptés de base d'un flot (cas autonome)
- La proposition 3.4 qui dit que les solutions dépendent de façon lisse des données initiales (et c'est ça la clé de la régularité du flot), ainsi que le corollaire 3.14 pour avoir le cas [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex] (mais ne te focalise pas sur la régularité des objets, tout le monde sait que c'est lisse mais il est souvent malséant de vouloir en évoquer les causes)
- Et enfin le paragraphe "3.4.1 Comment transporter un champ de vecteurs par un changement de coordonnées.", pour faire le lien entre ta variété et [tex]\mathbb{R}^n[/tex], c'est l'exercice que je t'ai donné. C'est fondamental, car tes théorèmes précités ne sont vrais que dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] a priori, ce paragraphe te permet de "transporter" les résultats depuis [tex]\mathbb{R}^n[/tex] vers la variété. (Fais attention aux notations, on s'embrouille vite entre [tex]\varphi[/tex] et [tex]\phi[/tex].)

GK

Dernière modification par Groupoid Kid (28-04-2013 10:43:36)

vrouvrou · 28-04-2013 18:45:18

ok, merci beaucoup je pense que sa devrait aller !
juste une petite question a propos de la démonstration du théorème, dans la suite de la démonstration :
"Comme l’ensemble K est compact, il existe un recouvrement fini par de tels voisinages U. Si on prend $\varepsilone_0 > 0$ comme le plus petit des [tex]\varepsilon[/tex] associés à chacun des voisinages [tex]U[/tex], et que l’on pose [tex]\varphi_t(q) = q[/tex] pour [tex]q \in K[/tex], cette équation différentielle a une unique solution
[tex]\varphi_t(q)[/tex] pour tout [tex]|t| < \varepsilon_0[/tex] et tout [tex]q \in M[/tex]. On sait également par un résultat du cours sur les
équations différentielles ordinaires que cette solution est lisse comme fonction des deux
variables [tex]q[/tex] et [tex]t[/tex]. De plus, si [tex]|t|, |s|, |t + s| < \varepsilon_0, \varphi_{t+s} = \varphi_t \circ \varphi_s[/tex]. Maintenant si [tex]|t| > \varepsilon_0[/tex],
il suffit de considérer [tex]t[/tex] comme un multiple de [tex]\varepsilon_0/2[/tex] plus un reste [tex]r[/tex] tel que [tex]r < \varepsilon_0/2[/tex]. On a alors:
[tex]t = k(\varepsilon_0/2) + r[/tex] avec [tex]k > 0[/tex] et on pose
[tex]\varphi_t = \varphi_{\varepsilon_0/2} \circ ... \circ \varphi_{\varepsilon_0/2} \circ \varphi_r[/tex]
où la transformation[tex] \varphi_{\varepsilon_0/2}[/tex] est appliquée [tex]k[/tex] fois. Si [tex]k < 0[/tex], on remplace [tex]\varphi_{\varepsilon_0/2}[/tex] par [tex]\varphi_{-\varepsilon_0/2}[/tex] que
l’on applique [tex]−k[/tex] fois. D’où, la transformation [tex]\varphi_t[/tex] est définie pour tout t. "

1) le lemme dit que si X est un champ de vecteurs lisse sur une variété M , qui s'annule a l’extérieur d'un ensemble compacte génère un unique groupe de difféomorphisme à 1 paramètre de M

dans cette deuxième partie il est entrain de construire ce groupe ?

une deuxième question pourquoi :[tex]|t|, |s|, |t + s| < \varepsilon_0, \varphi_{t+s} = \varphi_t \circ \varphi_s[/tex] ?

S'il vous plait

Merci

Groupoid Kid · 29-04-2013 09:11:54

(>_<) J'ai déjà répondu à ces deux questions.

Groupoid Kid a écrit :

Donc bien entendu, il n'est pas question de parler de [tex]d\varphi[/tex] puisqu'on est en train d'essayer de construire [tex]\varphi[/tex] !!!

Groupoid Kid a écrit :

- Le paragraphe "3.2.1. Champs de vecteurs et flot.", pour les pptés de base d'un flot (cas autonome)

Dans cette partie on t'explique pourquoi le flot est un groupe à 1 param. Moralement, appliquer [tex]\varphi_t[/tex] en un point revient à suivre les orbites du champ X pendant une durée t, cette relation est donc une évidence (dans le cas autonome hein).

vrouvrou · 30-04-2013 18:16:08

Re,
[tex]\varphi_{t+s}=\phi_t\circ \phi_s[/tex] parce que [tex]\phi_t[/tex] est la solution d'un système autonome ?

S'il vous plait

Merci

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#1 18-04-2013 16:04:11

Question sur les diffeomorphisme

#2 18-04-2013 16:13:50

Re : Question sur les diffeomorphisme

#3 18-04-2013 16:29:54

Re : Question sur les diffeomorphisme

#4 18-04-2013 22:50:36

Re : Question sur les diffeomorphisme

#5 19-04-2013 14:18:06

Re : Question sur les diffeomorphisme

#6 19-04-2013 15:11:39

Re : Question sur les diffeomorphisme

#7 19-04-2013 15:50:00

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#8 19-04-2013 16:10:01

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#9 23-04-2013 08:05:53

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#10 23-04-2013 12:17:09

Re : Question sur les diffeomorphisme

#11 23-04-2013 18:02:58

Re : Question sur les diffeomorphisme

#12 24-04-2013 08:25:46

Re : Question sur les diffeomorphisme

#13 25-04-2013 16:11:58

Re : Question sur les diffeomorphisme

#14 25-04-2013 16:26:45

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#15 25-04-2013 16:59:35

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#16 25-04-2013 23:50:11

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#17 26-04-2013 09:26:11

Re : Question sur les diffeomorphisme

#18 26-04-2013 13:49:57

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#19 26-04-2013 15:31:27

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#20 26-04-2013 18:41:29

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#21 26-04-2013 20:07:53

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#22 28-04-2013 10:42:53

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#23 28-04-2013 18:45:18

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#25 30-04-2013 18:16:08

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