Forum de mathématiques - Bibm@th.net

vrouvrou

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Question sur un théoreme

Bonsoir;

J'ai vraiment des difficultés a comprendre la démonstration du théorème 1.1 de la page 7 du document si joint

si quelqu'un peut m'aider a la comprendre s'il vous plait ,surtout la premiére partie

Merci.

théoreme 1.1

Groupoid Kid

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Re : Question sur un théoreme

Plop vrouvrou,

Décidément, tu vas nous sortir tous les théorèmes de la théorie de Morse ! ^^ Cette fois-ci, c'est la densité des fonctions de Morse. (En fait c'est un peu mieux que ça : les fonctions de Morse sont génériques. Passons.)

A priori il manque en effet une donnée importante dans cette démonstration : les [tex]\rho_i[/tex] sont des fonctions plateau adaptées au rétrécissement [tex]K_i[/tex], c'est-à-dire que chaque [tex]\rho_i=1[/tex] sur [tex]K_i[/tex] et [tex]\rho_i=0[/tex] en dehors de [tex]U_i[/tex].
Le reste n'est qu'une histoire de calcul diff et du coupage d'[tex]\epsilon[/tex] en quatre.

Bon courage à toi, la théorie de Morse est ardue mais vraiment magnifique.

GK

vrouvrou

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Re : Question sur un théoreme

Merci,

Mon problème c'est que je doit l'étudier en dimension 1 (une seule variable) ,j'ai peur de me trompé

vrouvrou

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Re : Question sur un théoreme

Dans le début de la démonstration il est dit que pour k=0 la propriété est trivialement vraie ,
pourquoi ?, quel est l’hypothèse sur f ?

s'il vous plait

Merci

Groupoid Kid

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Re : Question sur un théoreme

Re,

Il n'y a aucune hypothèse sur f (c'est d'ailleurs tout l'intérêt du théorème). Relis le texte : pour k=0, il faut vérifier une propriété sur ... l'ensemble vide, donc c'est trivialement vrai.
Comme c'est expliqué plus haut dans le texte, la philosophie de cette démonstration c'est de régulariser f sur des ensembles de plus en plus grands par perturbations successives.

GK

vrouvrou

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Re : Question sur un théoreme

Ah ok,
et on se qui concerne les dérivées il suffit de remplacer [tex]\frac{\partial f_{k+1}\circ \varphi^{-1}_{k+1}}{\partial x_i}[/tex] par [tex](f_{k+1}\circ \varphi_{k+1}^{-1})'[/tex]

Dernière modification par vrouvrou (04-05-2013 20:53:05)

vrouvrou

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Re : Question sur un théoreme

Salut,
en dimension 1 :

Posons[tex] f_0=f[/tex] et [tex]U_0=K_0=\emptyset[/tex] ,et montrons le résultat par récurrence sur [tex]k[/tex] , la propriété est trivialement vraie pour [tex]k=0[/tex] .
Supposons qu'elle est vraie au rang [tex]k\geq 0[/tex]:
D’après la démonstration du lemme 1.1 on peut choisir[tex] a_1[/tex] arbitrairement petit tel que l'application de [tex]U_{k+1}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] définit par [tex]x\rightarrow f(x)-a_1(\varphi_{k+1})_1(x)[/tex] n'ait pas de points critiques dégénérés .

Définissons [tex]f_{k+1}[/tex] comme suit :
                    [tex]f_k - \rho_{k+1}(x) (a_1(\varphi_{k+1})_1 (x))[/tex]    , [tex]x\in U_{k+1}[/tex]
[tex]f_{k+1}(x)[/tex]=
                    [tex]f_k(x)[/tex]                                          , [tex]x\in (Supp \rho_{k+1})^c[/tex]

On définit ainsi une fonction [tex]C^{\infty}[/tex] , qui vérifie i par hypothèse de récurrence

Après la normalement
[tex]f_{k+1}(x)-f_k(x)= -\rho(a_1(\varphi_{k+1})_1(x))[/tex] et
[tex]f_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x)=(f_k(x)\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x))-(\rho_{k+1}(x)\circ\varphi^-1_{k+1}(x))(a_1 x)[/tex]
[tex](f_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x))'-(f_k(x)\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x))'=-(\rho_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1})'(a_1 x)-a_1(\rho_{k+1}(x)\circ\varphi^{-1}_{k+1}(x))[/tex]
[tex](f_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x))''-(f_k(x)\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x))''=-(\rho_{k+1}(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x))''(a_1x)-2a_1(\rho_{k+1}(x)\circ\varphi^{-1}_{k+1}(x))'[/tex]
Donc quitte a choisir a_1 petit on peut supposer que [tex]f_{k+1}[/tex] soit une [tex](C^2,\varepsilon)[/tex]-approximation de [tex]f_k[/tex], donc une [tex](C^2,(k+1)\varepsilon)[/tex]-approximation de f d'ou ii.
par construction[tex] f_{k+1}[/tex] n'a pas de points critiques dégénéré dans [tex]K_{k+1}[/tex].
enfin quitte a choisir a_1 suffisamment petit on peut appliquer le lemme 1.2 a[tex] f_k[/tex] et [tex]\cup_{1\leq i\leq k}K_i[/tex] , d'ou iii

dans un premier temps est-ce que cette adaptation est juste?

S'il vous plait
Merci.

Dernière modification par vrouvrou (07-05-2013 13:37:39)

vrouvrou

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Re : Question sur un théoreme

pourquoi [tex]f_n[/tex] est une fonction de Morse ?

s'il vous plait

Merci.

Groupoid Kid

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Re : Question sur un théoreme

Salut vrouvrou,

Modulo les erreurs d'écriture ton adaptation me semble correcte. Attention car des écritures comme [tex]\rho(a_1(\varphi_{k+1})_1(x))[/tex] et [tex]f_k(x)\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x)[/tex] n'ont pas de sens.
Un conseil pour éviter de s'y perdre : ne fais pas comme dans le texte, choisis des notations différentes pour les variables dans [tex]M[/tex] et dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Par exemple [tex]p\in M[/tex] et [tex]x\in\mathbb{R}^n[/tex]. Tu obtiens alors [tex]f_k(p)=f_k\circ \varphi_{k+1}^{-1}(x)[/tex], etc.

Pour l'étape n, c'est un peu le même principe que pour l'étape 0 : à l'issue de la dernière étape, la fonction est régularisée sur [tex]\cup_{i=1}^nK_i[/tex], autrement dit sur [tex]M[/tex] tout entier.

GK

vrouvrou

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Re : Question sur un théoreme

pourquoi [tex]f_k(x)\circ \varphi^{-1}_{k+1}(x)[/tex] n'a pas de sens c'est écrit comme ça sur le document ?

s'il vous plait

Dernière modification par vrouvrou (12-05-2013 10:49:27)

Groupoid Kid

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Re : Question sur un théoreme

O_o

Euh... bin ça n'a pas de sens parce que [tex]f_k(x)[/tex] n'est pas une fonction, c'est un nombre réel, tout simplement. Dans le document, les notations sont correctes : [tex]f_k\circ\varphi_{k+1}^{-1}(x)[/tex]. Un peu d'attention et de rigueur, que diable !

GK

Dernière modification par Groupoid Kid (13-05-2013 10:21:05)

vrouvrou

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Re : Question sur un théoreme

ok ok c'est bon merci