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vrouvrou

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Lemme de Morse

Salut ;
S'il vous plait j'ai deux versions du lemme de Morse
"(Lemme de Morse). Soit [tex]p[/tex] un point critique non-dégénéré de [tex]f[/tex]. Alors il existe
un système de coordonnées local [tex](y^1, ..., y^n)[/tex] dans un voisinage [tex]U[/tex] de[tex] p[/tex] avec [tex]y^i(p) = 0[/tex] pour
tout i et tel que l’identité
[tex]f(y^1, ..., y^n) = f(p) − (y^1)^2 − ... − (y^{\lambda})^2 + (y^{\lambda+1})^2 + ... + (y^n)^2[/tex]
soit vraie sur[tex] U[/tex] avec  l’indice de [tex]f[/tex] en [tex]p[/tex]."
Et
(Le lemme de Morse). Soit [tex]c[/tex] un point critique non dégénéré de la fonction [tex]f : V \rightarrow \mathbb{R}[/tex].
Il existe un voisinage [tex]U[/tex] de [tex]c[/tex] et un difféomorphisme[tex] \varphi : (U, c) → (\mathbb{R}^n, 0)[/tex] tels que

[tex] f \circ \varphi^{-1}(x^1, . . . , x^n) =f(c) − \sum_{j=1}^{i} x^2_ {j}+ \sum_{j=i+1}^{n} x^2_{j}[/tex]
Comment passer des coordonnées local aux cartes ?

S'il vous plait
Merci.

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[EDIT by Yoshi] Merci d'utiliser le bouton "Prévisualisation" et de corriger....

Dernière modification par vrouvrou (18-04-2013 12:03:18)

Groupoid Kid

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Re : Lemme de Morse

Salut vrouvrou,

Outre la demande de Yoshi, pourrais-tu préciser ta question : tu parles de "cartes", travailles-tu sur une sous-variété de [tex]\mathbb{R}^n[/tex] ? Sinon ta question me semble sans fondement, les deux lemmes disent exactement la même chose : "il existe des coordonnées telles que" ou "il existe un difféo tel que" c'est mathématiquement strictement identique.
Le lien entre les deux est tout simplement [tex]\varphi=(y^1,\ldots,y^n)[/tex] (où chaque [tex]y^i[/tex] est vue comme fonction [tex]U\to\mathbb{R}[/tex]).

GK

vrouvrou

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Re : Lemme de Morse

Oui , au premier lemme [tex]f[/tex] est définit sur une variété lisse a valeurs dans [tex]\mathbb{R}[/tex] .
donc par exemple en dimension 1 ,un système de coordonnées local [tex]y^1[/tex] est exactement le difféomorphisme [tex]\varphi[/tex] ?

Groupoid Kid

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Re : Lemme de Morse

Tout à fait.