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Bonjour,

Je considère l'ensemble [tex]X=\{(x,y,f(x,y))\in R^3, (x,y)\in R^2\}[/tex] avec f une fonction [tex]C^{\infty}[/tex] de [tex]R^2[/tex] dans [tex]R[/tex].
On peut prendre par exemple [tex]f(x,y)=xy^2[/tex].

Je cherche à démontrer que [tex]X[/tex] est une 2-sous-variété de [tex]R^3[/tex].

Pour ce faire, je souhaite montrer que pour tout [tex]u\in X[/tex], il existe un voisinage [tex]U[/tex] de [tex]x[/tex] dans [tex]X[/tex] et un voisinage [tex]V[/tex] de [tex]0[/tex] dans [tex]R^2[/tex] et une application [tex]\phi : V\to U\cap X[/tex] bijective de classe [tex]C^{\infty}[/tex] tels que [tex]d\phi_0[/tex] soit bijective.

J'ai donc posé [tex]\phi : (x,y)\to (x,y,xy^2)[/tex] et j'ai calculé [tex]Jac_{\phi}(0,0)[/tex] et je trouve que c'est une matrice [tex]2\times 3[/tex], avec sur la première ligne 1, 0, 0 et sur la deuxième ligne, 0,1, 0.
Bref, tout ça est très flou pour mieux.
D'ailleurs, comment déterminer [tex]d\phi_0[/tex] ? C'est bien la différentielle de [tex]\phi en (0,0)[/tex] ?

Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour,

Je suppose que la fonction [tex]f : [0;1]\to R^+[/tex] est bornée et intégrable au sens de Riemann.
Je cherche à montrer que f est alors Lebesgue intégrable sur [tex][0;1][/tex]

[tex]\int_a^b f(x)dx=\sup\{\int_a^b g(x)dx : g\le f\}[/tex] avec [tex]g[/tex] en escalier.

Puis on dit que :

[tex]\sup\{\int_a^b g(x)dx : g\le f\}=\sup\{\int_{[a,b]}g(x)\lambda(dx) : g\le f\}[/tex] avec [tex]g[/tex] en escalier.

Je ne comprends pas cette dernière égalité, surtout le [tex]\lambda(dx)[/tex].

Merci pour vos éclaircissements ^^

Bonjour,

Je considère [tex]f : [0;1]\to R[/tex] une fonction bornée et Riemann-intégrable sur [tex][0;1][/tex].

Pour tout [tex]1\le k\le 2^n-1[/tex] et tout [tex]x\in [\frac{k-1}{2^n};\frac{k}{2^n}[=I[/tex], on pose [tex]l_n(x)=\inf_{t\in I} f(t)[/tex].

Je souhaiterais montrer que [tex](\int_0^1 l_n(t)dt)_{n\ge 1}[/tex] converge vers [tex]\int_0^1 f(t)dt[/tex].

Bon...
Pour montrer qu'il y a convergence vers [tex]\int_0^1f(t)dt[/tex], je peux considérer la somme de Darboux [tex]L_{(f,P)}=\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})\inf_{[x_{i-1};x_i]}f(t)[/tex] avec la partition [tex]P[/tex] définie par [tex]t_i=\frac{i}{2^n}[/tex] pour tout [tex]n\ge 1[/tex] et tout [tex]1\le i\le 2^n-1[/tex]. Je sais alors que comme [tex]f[/tex] est Riemann-intégrable, alors [tex]L_f=\sup_P L_{(f,P)}=\int_0^1 f(t)dt[/tex].

Autre définition équivalente de mon cours, je peux également définir [tex]L_f[/tex] de la façon suivante : [tex]L_p=\lim_{p\to +\infty} L_{(f,P_p)}[/tex] où [tex](P_p)_p[/tex] est une suite de partitions [tex]P_p=(x_0^{(p)},...,x_n^{(p)})[/tex] telle que [tex]max_{1\le i\le n(p)} |x_i^{(p)}-x_{i-1}^{(p)}|\to_{p\to +\infty} 0[/tex]

Je remarque déjà que pour tout [tex]1\le k\le 2^n-1, I\subset [0;1][/tex].

De plus, sauf erreur, [tex]l_n(x)=\inf_{t\in I} f(t)[/tex] ne dépend pas de t, donc on aurait : [tex]\int_0^1 l_n(t)dt=\int_0^1 l_n(x)dt=l_n(x)[/tex]...

Je ne comprends déjà pas ce premier point...
Ensuite, j'ai l'impression que, comme f est intégrable au sens de Riemann, il suffit que je montre que, pour tout [tex]1\le k\le 2^n-1[/tex] et tout [tex]x\in [\frac{k-1}{2^n};\frac{k}{2^n}[/tex] est une partition de [0;1].

Me trompé-je ?

Merci d'avance pour vos indications.

Bonjour,

On note [tex]L^1[/tex] l'espace vectoriel des fonctions [tex]f : R\to C[/tex], [tex]2\pi[/tex]-périodique et Lebesgue-mesurable telle que [tex]||f||_1<\infty[/tex].
On note C l'espace des fonctions continues de [tex]R[/tex] dans [tex]C[/tex], [tex]2\pi[/tex]-périodiques.
Pour tout [tex]n\in Z[/tex], on désigne par [tex]e_n[/tex] la fonction [tex]t\to e^{int}[/tex].
Enfin, pour [tex]f\in L^1[/tex] et [tex]n\in Z[/tex], on définit [tex]c_n(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)e^{-int}dt[/tex].

Il est affirmé dans mon cours que :
Si [tex]\sum_{-N}^N \alpha_n e_n[/tex] converge uniformément vers [tex]f[/tex], alors [tex]f[/tex] est continue de [tex]R[/tex] dans [tex]C[/tex] et [tex]2\pi[/tex]-périodique, et [tex]\alpha_n=c_n(f)[/tex], pour [tex]n\in Z[/tex].

Egalement, il est affirmé que pour [tex]f\in[/tex] C telle que sa série de Fourier converge uniformément, alors la somme de la série coïncide avec la fonction.

J'aimerais d'abord comprendre comment démontrer la première proposition.

Merci pour vos indications.

Bonjour,

Je travaille actuellement sur les coefficients de Fourier.
On définit pour tout [tex]n\in Z, c_n(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt[/tex].

Il est annoncé que [tex]c_n(Re(f))=0[/tex] avec [tex]Re(f)=\frac{1}{2}(f+\bar{f})[/tex].

Voici la démonstration proposée :

On a [tex]Re(f)=\frac{1}{2}(f+\bar{f})[/tex].

Donc [tex]c_n(Re(f))=\frac{1}{2}(c_n(f)+c_n(\bar{f}))=\frac{1}{2}(c_n(f)+\overline{c_{-n}(f)})=0[/tex] car [tex]c_n(\bar{f})=\overline{c_{-n}(f)}[/tex]

Bon, c'est le [tex]\frac{1}{2}(c_n(f)+\overline{c_{-n}(f)})=0[/tex] que je ne saisis pas.

En y regardant de plus près, on a :

[tex]c_n(f)+\overline{c_{-n}(f)}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt+\overline{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{int}dt}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{f(t)}e^{-int}dt
=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(f(t)+\overline{f(t)})e^{-int}dt[/tex]

Ainsi, [tex]c_n(Re(f))=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}Re(f(t))e^{-int}dt[/tex]...

Voilà, je ne vois pas d'où vient le fait que les coefficients de Fourier de la partie réelle sont nuls.

Merci pour votre aide !

Bonjour,

Je considère une application [tex]f[/tex] entre deux variétés différentiables [tex]X[/tex] et [tex]Y[/tex] de même dimension. Soit [tex]x\in X[/tex].
On dit que [tex]f[/tex] est un difféomorphisme local en [tex]x[/tex] s'il existe un voisinage [tex]U[/tex] de [tex]x[/tex] tel que [tex]f(U)[/tex] soit un voisinage de [tex]y=f(x)[/tex].

Ensuite, j'ai la proposition suivante.
Si [tex]f[/tex] est un difféomorphisme local en [tex]x[/tex], alors la différentielle [tex]T_{f_x} : T_x f \to T_y f[/tex] est un isomorphisme.

Cela fait longtemps que je n'ai pas fait de géoémtrie différentielle.
Ma première question est la suivante : pourquoi [tex]T_{f_x}[/tex] est une application de l'espace tangent [tex]T_x f[/tex] dans l'espace tangent [tex]T_y f[/tex].

Merci pour vos éclaircissements.