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#1 12-01-2022 17:35:12

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 127

Série de Fourier et convergence uniforme

Bonjour,

On note [tex]L^1[/tex] l'espace vectoriel des fonctions [tex]f : R\to C[/tex], [tex]2\pi[/tex]-périodique et Lebesgue-mesurable telle que [tex]||f||_1<\infty[/tex].
On note C l'espace des fonctions continues de [tex]R[/tex] dans [tex]C[/tex], [tex]2\pi[/tex]-périodiques.
Pour tout [tex]n\in Z[/tex], on désigne par [tex]e_n[/tex] la fonction [tex]t\to e^{int}[/tex].
Enfin, pour [tex]f\in L^1[/tex] et [tex]n\in Z[/tex], on définit [tex]c_n(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)e^{-int}dt[/tex].

Il est affirmé dans mon cours que :
Si [tex]\sum_{-N}^N \alpha_n e_n[/tex] converge uniformément vers [tex]f[/tex], alors [tex]f[/tex] est continue de [tex]R[/tex] dans [tex]C[/tex] et [tex]2\pi[/tex]-périodique, et [tex]\alpha_n=c_n(f)[/tex], pour [tex]n\in Z[/tex].

Egalement, il est affirmé que pour [tex]f\in[/tex] C telle que sa série de Fourier converge uniformément, alors la somme de la série coïncide avec la fonction.

J'aimerais d'abord comprendre comment démontrer la première proposition.

Merci pour vos indications.

Dernière modification par Thgues (12-01-2022 17:46:11)

Hors ligne

#2 12-01-2022 18:41:36

Paco del Rey
Invité

Re : Série de Fourier et convergence uniforme

Bonsoir,

Si on note [tex]f_N = \sum\limits_{-N}^N \alpha_n e_n[/tex] alors [tex]f[/tex], est la limite uniforme de fonctions continues, donc elle est continue de [tex]R[/tex] dans [tex]C[/tex] ,
De plus, si $\vert n\vert \leqslant N$ alors  [tex]\alpha_n= \dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f_N(t) e^{-int} \ dt[/tex] qui converge vers
$c_n(f)$.

Paco.

#3 13-01-2022 14:14:38

Thgues
Membre
Inscription : 02-07-2021
Messages : 127

Re : Série de Fourier et convergence uniforme

Bonjour Paco, et merci !

Hors ligne

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