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Je suis un peu perdu dans la compréhension du dual.
Pourriez vous m'éclairer à ce sujet?
Merci d'avance

Bonjour
Je vais actualisés la preuve avec vos remarques.
J'ai un autre exo du type ci dessous
On définit Cu(X,E) comme étant l’ensemble des fonctions f de B(X,E) qui sont uniformément continues. Démontrer que (Cu(X,E),||.||B(X,E))
est un espace de Banach.
Pour le démontrer je vais donc utiliser la même démarche par contre comment on introduit l'uniforme continuité ?
Merci d'avance

Le point 3/ montre que $||f||$ est bornée. Est ce correct?

.

Je ne vois pas comment montrer $f$ est continue. Effectivement si $f$ est continu donc appartient à $C_b$.

pourrais tu stp m'aider à éclaircir des derniers points pour finir la démonstration car je ne vois pas quel est la bonne route pour finir?

merci d'avance.

effectivement finalement on a : $ ||f_N(x)−f(x)||_E \leq ||f_N(x)||+||- f(x)||_E $

Sinon pour le reste de mes remarques :
(**) est ce vrai ?

De plus, il ne me semble pas avoir utilisé "le théorème de continuité des limites uniformes de suites de fonctions continues."

(J'ai un autre exo du même acabit, dois-je comprendre que c'est la même chose?
On définit $C_u(X,E)$ comme étant l’ensemble des fonctions $f$ de $B(X,E)$ qui sont uniformément continues. Démontrer que $(Cu(X,E),||.||B(X,E))$ est un espace de Banach.)

Merci d'avance

Bonjour,

Merci pour vos commentaires. En rassemblant les différents commentaires j'arrive la stratégie de la preuve :
1 / définir un candidat $f$ pour la limite $f_n$
2 / montrer que  $f_n \rightarrow f$
3 / montrer que $f \in (C_b(X,E),||.||_{B(X,E)})$

---------------- Je propose donc de suivre cette démarche de la preuve
1 / je commence par définir un candidat f pour la limite fn
Soit $fn$, $C_b(X,E)$
$\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n,m \geq N$ / $||f_n−f_m||_{C_b(X,E)}\leq \epsilon$
$\Leftrightarrow \forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n,m \geq N$ $sup_{x\in X}||f_n(x)−f_m(x)||_E \leq \epsilon$
$\Leftrightarrow \forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n,m \geq N$ $\forall x \in X ||f_n(x)−f_m(x)||_E \leq \epsilon$

Donc $\forall x$ $f_n(x)$ est de Cauchy. Or E est complet $\Rightarrow f_n(x)$ CV vers un point qu'on définit comme $f(x)$
donc on a $f(x)=lim_{n\to \infty} f_n(x)$

2 /

$\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $\forall m \geq N$ $||f_n(x)−f_m(x)||_E \leq \epsilon$
fixons $\epsilon$ ,$n$

$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $lim_{m\to \infty}||f_n(x)−f_m(x)||_E \leq \epsilon$  $(i)$
par continuite de la norme, on a :
$lim_{m\to \infty}||f_n(x)−f_m(x)||_E = ||f_n(x)−f(x)||_E$
d'ou
$(i)$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $||f_n(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $||f_n(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $sup_{x\in X}||f_n(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $||f_n−f||_{B(X,E)}\leq \epsilon$

Donc $f_n$ dans $C_b(X,E)$ converge $f$ dans $B(X,E)$ ;

3 / D’après 2/ on a
$\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $||f_n(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
Fixons n = N
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq ||f_N(x)||_E + ||−f(x)||_E \leq \epsilon$ 
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$  $||f(x)||_E \leq \epsilon + ||-f_N(x)||_E$  (*)
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$  $sup_{x\in X}||f(x)||_E \leq \epsilon + sup_{x\in X}||f_N(x)||_E$
$\Leftrightarrow$ $|f||_{B(X,E)} \leq \epsilon + ||f_N||_{B(X,E)}$

Alors $f$ est bornée donc $f\in (C_b(X,E),||.||_{B(X,E)})$
cela montre également que $C_b$ est fermé dans $B(X,E)$ (**)

----------------
Voila ce que je propose pour la preuve de $C_b$ est un espace de Banach.
(*) est ce que l'utilisation de l'inégalité traingualire est bonne?
(**) est ce vrai ?

De plus, il ne me semble pas avoir utilisé "le théorème de continuité des limites uniformes de suites de fonctions continues."

(J'ai un autre exo du même acabit, dois-je comprendre que c'est la même chose?
On définit $C_u(X,E)$ comme étant l’ensemble des fonctions $f$ de $B(X,E)$ qui
sont uniformément continues. Démontrer que $(C_u(X,E), ||.||_{B(X,E)})$ est un espace de Banach.)

Merci d'avance pour vos commentaires.

... réponse à ma question :  est ce que je peux écrire ? oui bien sur car $C_b$ est l'ensemble des fonctions continues dans $B$
Une nouvelle question : est ce que l'on a $C_b \subset B$ ?

De plus, je recherche à montrer que le théorème de continuité des limites uniformes de suites de fonctions continues.
Pourriez vous svp m'aider également sur cette démonstration?

Merci beaucoup pour la démonstration.

Merci d'avoir était clair pour l'intérêt de cette exo, dont acte!

Bonjour,
Merci pour la réponse pour la fonction C1.

Par contre on montre que fn est de Cauchy pourquoi X n'est pas complet pour norme infini

Merci d'avance

D'accord, merci.