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#1 02-03-2017 21:59:41
- sbl_bak
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limite - espace complet
Bonjour,
J'ai un exercice ou j'ai une question sur la correction du prof.
soit $X=C^1([-1,1]) l'espace des fonctions continument différentiable.
Soit $f_n(x) = x -(1/n) sin(nx)$ pour $0\leq x \leq 1$
Questions : montrer que $f_n$ est de Cauchy de X et en déduire que X muni de la $||.||_{\infty}$ n'est pas complet.
On montre de la façon suivante que $f_n$ est de Cauchy : $||f_p - f_n||_{\infty} \leq (1/p)+(1/n)$ qui converge vers 0 lors p et n tendent vers 0.
Le prof dit la chose suivante :"La limite n'est cependant clairement pas $C^1$, donc X n'est pas complet."
La je ne comprend pas le clairement pas $C^1$ ???
Pourriez vous svp m'aider à éclaircir ce point?
Merci d'avance
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#2 02-03-2017 22:36:02
- Fred
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Re : limite - espace complet
Salut,
Je pense que ton prof a fumé la moquette (à moins que ce ne soit moi!).
La suite $(f_n)$ converge vers la fonction $f(x)=x$ qui est tout ce qu'il y a de plus $C^1$.
Cela dit, ton prof a raison, $X$ muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$ n'est pas complet...
F.
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#4 03-03-2017 09:51:56
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 348
Re : limite - espace complet
Re-
Ce n'est pas avec cette suite là qu'on peut montrer que $X$ n'est pas complet pour cette norme.
Il faut procéder autrement! Connais-tu lle théorème de Weierstrass qui dit que toute fonction continue
est limite uniforme de polynômes???
F.
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#5 03-03-2017 19:40:37
- sbl_bak
- Membre
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- Messages : 132
Re : limite - espace complet
Bonjour,
Oui je suis censé connaitre le théorème de Weirstrass :
$\forall \epsilon >0$ il existe un polynôme P tel que : $ \forall x \in [-1,1], |f(x) -P(x)|<\epsilon$
Question : quelle suite prendre pour montrer que X est complet? et il faudra appliquer le théorème de Weiestrass par la suite.
Remarque personnelle : je ne comprends toujours pas pourquoi il ne faut pas utiliser la suite de l'exo car je ne comprends plus le sens de cette exo, enfin!
Merci d'avance
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#6 04-03-2017 08:05:56
- Fred
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Re : limite - espace complet
Re-
Je vais être plus clair. Je pense que ton prof s'est grossièrement trompé, et que cet exercice n'a pas de sens!
Avec le théorème de Weierstrass,voici une méthode pour démontrer que $X$ n'est pas complet.
Considère $f(x)=|x|$. Alors il existe une suite $(P_n)$ de polynômes telle que $(P_n)$ converge vers $f$ pour
$\|\cdot\|$. Autrement dit, $\|P_n-f\|_\infty\to 0$. La suite $(P_n)$ est une suite de Cauchy de $X$. Pourtant, elle ne converge
pas dans $X$ puisque $f$ n'est pas dans $X$.
F.
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