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Bonjour,
comment on calcule la transformée de Fourier de [tex]\sum_{j=0}^n \delta_j[/tex]? Si j'utilise la définition [tex]F(\sum_j \delta_j)(\xi)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \sum_j \delta_j e^{-i x \xi} dx[/tex] ca donne n'importe quoi.
Merci beaucoup.

Bonjour,
j'ai la question suivante: montrer que

[tex]||T||_{L^2} = (2 \pi)^{-n/2} ||F(T)||_{L^2}[/tex], où [tex]T[/tex] est dans [tex]L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] et [tex](T_j)[/tex] est une suite de [tex]S[/tex] telle que [tex]T_j \to T[/tex] dans[tex] L^2(\mathbb{R}^n).[/tex]

Dites moi si la solution que je propose ci dessous est correcte, et est-ce qu'il y a des erreurs

On a [tex]T_j \in S(\mathbb{R}^n)[/tex], donc[tex] ||T_j||_{L^2}= (2 \pi)^{(n/2} ||F(T)||_{L^2(\mathbb{R}^n)}[/tex]

on sait que

[tex]T_j \to T[/tex] dans[tex] ^2(\mathbb{R}^n)[/tex]

donc

[tex]||T_j||_{L^2(\mathbb{R}^n)} \to ||T||_{L^2(\mathbb{R}^n)}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], parce que

[tex]| ||T_j||_{L^2} -||T||_{L^2}| \leq |||T_j - T||| \to 0[/tex]

[tex]
F: L^2(\mathbb{R}^n) \to L^2(\mathbb{R}^n)
[/tex]

est un morphisme,

donc

[tex]F(T_j) \to F(T)[/tex] dans [tex]L^2(\mathbb{R}^n)[/tex], et donc [tex]||F(T_j)||_{L^2} \to ||F(T)||_{L^2}[/tex]

et puisque

[tex]||F(T_j)||_{L^2} \to ||F(T)||_{L^2}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex]

donc en passant à la limite dans

[tex]||T_j||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||F(T_j)||_{L^2}[/tex]

on obtient que

[tex]||T||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||F(T)||_{L^2}.[/tex]

Est-ce qu'il y a des erreurs dans ces écritures? Est-ce que c'est bien rédigé? Merci beaucoup.

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant que je n'arrive pas à traiter entièrement. Je vous remercie par avance de m'aider.
1. Soit [tex]H[/tex] la fonction de Heaviside, et soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex] Donner une condition sur [tex]\varphi[/tex] pour que la fonction [tex]H.\varphi[/tex] soit dans [tex]H^1(\mathbb{R}).[/tex]
2. Soit maintenant [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] telle que [tex]\varphi=1[/tex] au voisinage de 0. On pose [tex]u=H.\varphi.[/tex]
a. Calculer la dérivée [tex]u'[/tex] en fonction de [tex]\varphi'.[/tex]
b. calculer la transformée de Fourier de u en fonction de la transformée de Fourier de [tex]H \varphi'[/tex]
c. Est-ce que [tex]F(H \varphi') \in S(\mathbb{R})?[/tex]
d. Montrer que [tex]F(u) \sim \dfrac{C}{x^{\alpha}}[/tex] au voisinage de [tex]+\infty[/tex], tels que [tex]C[/tex] est une constante, et [tex]\alpha[/tex] un réel à déterminer.
e. On définit l'espace [tex]H^s(\mathbb{R})= \{u \in L^2(\mathbb{R}), |x|^s F(u) \in L^2(\mathbb{R})\}[/tex]. Déterminer un réel[tex] s\geq 0[/tex] tel que [tex]u[/tex] ne soit pas dans [tex]H^s(\mathbb{R})[/tex]

Voici ce que je propose:
1. on note [tex]u(x)=H(x) \varphi(x)[/tex]. Pour que u soit dans H^1, il faut et il suffit que [tex]u\in L^2[/tex] et [tex]u' \in L^2[/tex]
D'un côté on a [tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |u|^2 dx = \displaystyle\int_0^{+\infty}|\varphi|^2 dx = \displaystyle\int_0^a |\varphi|^2 dx[/tex] qui est toujours finie puis [tex]\varphi[/tex] est continue sur un compact, donc elle est bornée, et d'un autre côté, [tex]u'(x)= H(x) \varphi'(x)[/tex], et on a donc [tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} [u'|^2 dx = \displaystyle\int_0^a |\varphi'|^2 dx[/tex] qui est lui aussi toujours fini.
Conclusion: je ne trouve aucune condition sur la fonction test [tex]\varphi[/tex] pour que [tex]u[/tex] soit dans[tex] H^1[/tex].

2.
a. je trouve [tex]u'(x)= H(x)\varphi'(x).[/tex]

b. Je trouve [tex]F(u)= \dfrac{1}{i\xi} \varphi(0) + \dfrac{1}{i \xi} F(H \varphi').[/tex]

pour les questions c, d, et e je n'y arrive vraiment pas.
Merci par avance pour l'aide.