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#1 11-04-2016 18:18:56
- tintin
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- Messages : 56
exo
Bonjour,
j'ai la fonction suivante: $f(x)= \cos(x)$ si $x \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ et 0 sinon. J'ai les questions suivantes:
1. est ce que la transformée de Fourier et paire? Comment le savoir?
2. Pour le calcul de la transformée de Fourier de f, voici ce que je propose:
$\widehat{f}(\xi)= \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) e^{-ix\xi} dx$
en utilisant l'ipp, on pose $u(x)= e^{-i x \xi}$ qui implique $u'(x)= - i \xi e^{-i x \xi}$ et $v'(x)= \cos(x)$ qui implique $v(x)=\sin(x)$
et donc
$$
\widehat{f}(\xi)= e^{-i \pi/2 \xi} + e^{i \pi/2 \xi} + i \xi \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x)e^{-i x \xi} dx
$$
puis en utilisant l'ipp pour calculer $ \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x)e^{-i x \xi} dx$, on pose $u(x)= e^{-i \xi}$ implique $u'(x)= -i \xi e^{-i x \xi}$ et $v'(x)= \sin(x)$ implique $v(x)= - \cos(x)$ qui donne que
$$
\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x)e^{-i x \xi} dx= - i \xi \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) e^{_i x \xi} dx
$$
et donc
$$
(1+i \xi) \widehat{f}(\xi)= e^{-i \pi/2 \xi} + e^{i \pi/2 \xi}
$$
qui implique que
$$
\widehat{f}(\xi)= \dfrac{2}{1 + i \xi} \cos(\dfrac{\pi}{2} \xi)
$$
est ce que c'est correct?
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#2 11-04-2016 20:50:01
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : exo
Bonjour,
La transformée de Fourier d'une fonction paire est une fonction paire (il suffit de faire un changement de variables dans l'intégrale pour le voir).
Comme ta fonction est paire et pas sa transformée de Fourier, tu as fait une erreur quelque part!
F.
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#3 11-04-2016 21:00:19
- tintin
- Membre
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- Messages : 56
Re : exo
ok! C'est compris maintenant. On trouve
$$
\widehat{f}(\xi)= \dfrac{1}{1+\xi^2}(e^{-i \dfrac{\pi}{2} \xi} + e^{i \dfrac{\pi}{2} \xi})
$$
ainsi c'est correct?
- Autre question: comment répondre à la question: est ce que $\widehat{f}$ est continue? Moi je dis que oui car l'exponentielle est continue. Il y'a quelque chose de plus à dire?
Dernière modification par tintin (11-04-2016 22:44:09)
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#7 12-04-2016 20:48:32
- tintin
- Membre
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- Messages : 56
Re : exo
Pour les questions: est ce que [tex]\widehat{f}[/tex] est continues? est-ce qu'elle est de classe [tex]C^{\infty}[/tex]? Est-ce qu'elle est dans [tex]S'(\mathbb{R})[/tex]?
Les réponses que je propose sont: oui, [tex]\widehat{f}[/tex] est continue, elle est de classe [tex]C^{\infty}[/tex] puisque c'est le produit d'un polynôme et une fonction exponentielle, et elle est dans [tex]S'(\mathbb{R})[/tex] parce qu'elle est intégrable (dans [tex]L^1(\mathbb{R})[/tex]). Vous êtes d'accord?
Dernière modification par tintin (12-04-2016 21:29:37)
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