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tintin

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question

Bonjour,
j'ai la question suivante: montrer que

[tex]||T||_{L^2} = (2 \pi)^{-n/2} ||F(T)||_{L^2}[/tex], où [tex]T[/tex] est dans [tex]L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] et [tex](T_j)[/tex] est une suite de [tex]S[/tex] telle que [tex]T_j \to T[/tex] dans[tex] L^2(\mathbb{R}^n).[/tex]

Dites moi si la solution que je propose ci dessous est correcte, et est-ce qu'il y a des erreurs

On a [tex]T_j \in S(\mathbb{R}^n)[/tex], donc[tex] ||T_j||_{L^2}= (2 \pi)^{(n/2} ||F(T)||_{L^2(\mathbb{R}^n)}[/tex]

on sait que

[tex]T_j \to T[/tex] dans[tex] ^2(\mathbb{R}^n)[/tex]

donc

[tex]||T_j||_{L^2(\mathbb{R}^n)} \to ||T||_{L^2(\mathbb{R}^n)}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], parce que

[tex]| ||T_j||_{L^2} -||T||_{L^2}| \leq |||T_j - T||| \to 0[/tex]

[tex]
F: L^2(\mathbb{R}^n) \to L^2(\mathbb{R}^n)
[/tex]

est un morphisme,

donc

[tex]F(T_j) \to F(T)[/tex] dans [tex]L^2(\mathbb{R}^n)[/tex], et donc [tex]||F(T_j)||_{L^2} \to ||F(T)||_{L^2}[/tex]

et puisque

[tex]||F(T_j)||_{L^2} \to ||F(T)||_{L^2}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex]

donc en passant à la limite dans

[tex]||T_j||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||F(T_j)||_{L^2}[/tex]

on obtient que

[tex]||T||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||F(T)||_{L^2}.[/tex]

Est-ce qu'il y a des erreurs dans ces écritures? Est-ce que c'est bien rédigé? Merci beaucoup.

Dernière modification par tintin (29-03-2016 14:18:26)

Fred

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Re : question

Bonjour,

  Deux petits détails :
- je pense que c'est -n/2 dans la puissance de ta deuxième équation
- plutôt que de dire que [tex]F[/tex] est un morphisme, je dirais que [tex]F[/tex] est continue.

F.

tintin

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Re : question

Bonjour,
c'est vrai qu'on a besoin uniquement de la continuité. Mais, F n'est pas un morphisme?

Fred

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Re : question

Si c'est un morphisme, mais est-ce que ta définition de morphisme inclut la continuité?
Le mot morphisme a une signification assez vaste en maths, il signifie essentiellement "respecte la structure de départ".
Pour moi, il a plutôt une signification algébrique qu'analytique. Mais si dans ton cours on t'a défini "morphisme d'espace de Banach" comme une application linéaire continue, pas de problèmes.

F.

tintin

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Re : question

Bonjour,
et pour la question suivante, est-ce qu'il n'y a pas d'erreurs dans les espaces que je prend s'il vous plaît
soit [tex]f \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex], et on considère l'équation[tex] \Delta u - u = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}[/tex] qui admet une solution unique [tex]u \in H^1[/tex].
Est-ce que c'est correct d'écrire ceci:
Soit [tex]\varphi \in D[/tex]: [tex]<\Delta u - u,\varphi> = - <f, \dfrac{\partial \varphi}{\partial x_i}>_{L^2,L^2}[/tex]?
c'est là mon doute: est-ce qu'il est correcte d'écrire à la fin le crochet [tex]<.;.>_{L^2,L^2}[/tex]?
Le choix des espaces est bon? Merci beaucoup.

Dernière modification par tintin (30-03-2016 11:19:23)