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Bonjour :)
J'aurais besoin d'une vérification de votre part afin de voir si je n'ais pas fait (trop) d'erreur

Soit [tex]m\in\mathbb{R}[/tex]. Résoudre suivant les valeurs de m le système suivant :
[tex]\left \{\begin{array}{ccc}
y + mz &=& 1\\
z + mx &=& -1\\
x + my &=& 0
\end{array}\right.[/tex]

Donner une interprétation en termes d'applications et de formes linéaires, de noyau et d'image

Ma réponse :
Si [tex]m = 0[/tex] Le système admet une seule solution qui est (x, y, z) = (0, 1, -1)
Notons [tex]f_1(x,y,z) = x + y + z[/tex]
J'ai vérifié que c'était bien une application linéaire.
Le noyau est (0, 1, -1) et l'image est ((1, 0, 0) ; (0, 1, 0) ; (0, 0, 1))

Dans la suite on suppose [tex]m\neq 0[/tex]
la matrice associé au système est :
[tex] M= \left[\begin{array}{cccc}0&1&m&1\\m&0&1&-1\\1&m&0&0\end{array}\right] \sim   \left[\begin{array}{cccc}1&m&0&0\\0&1&m&1\\0&0&1+m^3&-1+m^2\end{array}\right]  [/tex]

Si [tex]m=-1[/tex]
[tex] M=   \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end{array}\right]  [/tex]

Le système est équivalent à :
[tex]\left \{\begin{array}{ccc}
x&=&1+z\\
y&=&1+z\\
&&z\in\mathbb{R}
\end{array}\right.
[/tex]
Ce n'est pas une application linéaire car [tex]0_{\mathbb{R}^3}[/tex] n'est pas solution

On suppose maintenant que [tex]m\neq 0[/tex] et [tex]m\neq -1[/tex]

Le système est équivalent à :
[tex]\left \{\begin{array}{ccc}
x+my &=& 0\\
y + mz &=& 0\\
(1+m^3)z &=& -1+m^2
\end{array}\right.
[/tex]

D'où :
[tex]]\left \{\begin{array}{ccc}
x &=& \frac{m^2(-1+m^2)}{1+m^3}\\
y&=&\frac{-m(-1+m^2)}{1+m^3}\\
z &=& \frac{-1+m^2}{1+m^3}
\end{array}\right.
[/tex]

en faisant la somme des équations du système on obtient :
[tex]f_2(x,y,z)=m(x+1) + y(m+1) + z(m+1)=0[/tex]
Il s'agit bien d'une application linéaire.

Le noyau est [tex]( \frac{m^2(-1+m^2)}{1+m^3}; \frac{-m(-1+m^2)}{1+m^3}; \frac{-1+m^2}{1+m^3})[/tex]

L'image est [tex]((1,0,0);(m,1,0),(0,m,1+m^3))[/tex]

Bonjour,
ll faut que je montre que [tex]\sum_{n \ge 1} \frac{1}{x^2n^3+n^2}[/tex] converge uniformément sur [tex]\mathbb{R}[/tex] vers une fonction f  qu'il faut déterminer.

J'ai dérivé le terme général cherché quand est-ce qu'il s'annule (pour x = 0) J'ai donc majoré [tex]|\frac{1}{x^2n^3+n^2}|[/tex] par [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] qui est le terme général d'une série de Riemann convergente (paramètre = 2 > 1). Ce qui montre que la série est normalement convergente donc uniformément convergente sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
Cependant, je ne sais pas si la série converge vers [tex]\frac{1}{n^2}[/tex] ou vers [tex]lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}[/tex] ?

Merci ! :)

Bonjour,
il faut que je montre que la  suite de fonctions [tex]f_n[/tex] est uniformément convergente. [tex]f_n[/tex] est définie sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex]
[tex]f_n(x)=\frac{nx^3+e^{-nx}}{nx^2+1}[/tex]

Cependant j'ai montré que [tex]f_n[/tex] était simplement convergente vers la fonction f définie par 1 si x = 0 et x sinon
la fonction f n'est donc pas continue sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex] et [tex]f_n[/tex] ne peut pas être uniformément convergente.

Ais-je fais une erreur ?