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milexarc

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Variables aléatoire indépendante ou non

Bonjour,

On dispose de [tex]n[/tex] boules qu'on place indépendamment dans l'urne 1 avec un probabilité de [tex]p[/tex] ou dans l'urne 2 avec une probabilité de [tex]1-p[/tex]. X est la v.a donnant le nombre de boules dans l'urne 1 et Y est la v.a donnant le nombre de boule dans l'urne 2.

1) Donnez les lois de X et Y. X suit une loi Binomiale B(n,p) et Y suit une loi Binomiale B(n, 1-p) (car deux issues possibles et indépendance des placements)

2) X et Y sont-elles indépendantes ?

On dispose maintenant de Z boules, Z suit une loi de Poisson de paramètre [tex]\lambda>0[/tex].

3) X et  Y sont-elles indépendantes ?

Je sais que pour que deux v.a soient indépendante il faut que [tex]P(\{X=x_i\}\cap \{Y=y_i\})=P(X=x_i)P(Y=y_i)[/tex]
mais je ne sais pas comment le montrer.

Merci

Dernière modification par milexarc (14-03-2016 14:50:59)

freddy

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Re : Variables aléatoire indépendante ou non

Salut,

tu n'as pas le sentiment que la loi de [tex]Y[/tex] est celle de [tex]n - X[/tex] ? Donc si je connais la répartition de [tex]X[/tex], j'en déduis celle de [tex]Y[/tex], ce qui pose un petit problème sur l'indépendance des deux va, puisque finalement,[tex] \Pr(X=k)=\Pr(Y=n-k)[/tex] ...

C'est pour cela que tu bloques quand tu essaies d'appliquer la définition de l'indépendance.

Je ne vois pas le lien avec la va [tex]Z[/tex], sauf si tu précises que [tex]n[/tex] est la réalisation de [tex]Z[/tex] qui suit une loi de Poisson de paramètre [tex]\lambda[/tex].