Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,
je viens solliciter votre aide sur un exercice qui me prend un peu la tête.
voici l'énoncé:

Soit $f : \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$. Notons $\Delta f =\frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}$  le laplacien de f et soit D un disque ouvert de $\mathbb{R^2}$. On notera $\partial D$ le bord de $D$.
On suppose qu'il existe m$_{0} \in D$  tel que $f(m_{0}) \geq f(m)$ pour tout m $\in \partial D.$

Montrer que si $\Delta f  \geq 0$ sur $D$, alors  $f(m) \leq sup_{m' \in \partial D}f(m')$  pour tout $m \in D$.
Indication : considérer la suite de fonctions $g_{p}(m)=f(m) + \frac{||m||^2}{p}$ avec $p \in \mathbb{N^*}$.

Dans un premier temps, j'ai voulu partir sur un raisonnement par absurde, sauf qu'à un moment donné j'étais bloquée sur mes arguments et je ne pouvais pas utiliser la suite de fonction qu'on me conseille en indication de l'exercice; alors j'ai pensé utiliser les arguments limite mais je vois pas trop comment m'y prendre non plus.

Merci pour vos retours.

Bonjour,
J’ai un travail sur le pb de Cauchy que j’arrive pas à finir.
Voici l’énoncé:
Soient $\alpha \in \mathbb{R}$ et $f$ la fonction réelle définie par $f(u)=-u e^{\alpha u}ln(|u|)$ si $u \neq 0$ et $f(0)=0$. On considère pour $u_0 \in \mathbb{R^+}$ le problème (s) suivant: $u’(t)=f(u(t)), t \in \mathbb{R}$ et $u(0)=u_0$.
1) Montrer que le problème (s) admet une unique solution maximale, pour toute valeur initiale $u_0 \in ]0,+\infty[.$
2) On note (J,u) une solution maximale de (s).
Supposons que $u_0 \in ]0,1]$, montrer que la limite $u$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est égale à 1 puis Montrer que $u(J) \subset ]1,+\infty[$ pour $u_0 > 1$.
3) On suppose que $\alpha=0$, résoudre le système (s).

J’ai donc pu résoudre sans peine la 1) mais je bloque sur les deux derniers.

J’ai donc besoin de votre aide. Merci

Résolution:
1) la fonction $u \longrightarrow f(u)=-u e^{\alpha u} ln(|u|)$ définie sur $\mathbb{R}$ X $\mathbb{R^+}$ est de classe $C^1$ et ainsi est localement lipschizienne. Ceci implique que ce problème de Cauchy admet  une unique solution maximale.

Bonjour,
J’ai un exercice résolu que je ne comprends pas trop certains détails.
Je souhaite donc que vous m’aidiriez a y voir claire.
Voici l’énoncé et la solution:

Calculer l’intégrale $\int_\gamma f(z)dz$ dans le cas suivant avec $\gamma$ orienté positivement:

$f(x+iy)=x$ et $\gamma$ est le polynôme $[-i,-i+1,i+1,i,-i]$

Solution:

Nous utilisons les parametrisations suivantes :

$\gamma_1 (t) = -i+t, 0 \leq t \leq 1$,
$\gamma_2 (t) = ti+1, -1 \leq t \leq 1$,
$\gamma_3 (t) = i+(1-t), 0 \leq t \leq 1$,
$\gamma_4 (t) = -ti, -1 \leq t \leq 1$.

Alors

$\int_\gamma f(z)dz = (\int_\gamma1 + \int_\gamma2 + \int_\gamma3 + \int_\gamma4)f(z)dz$
$=\int_0^1 f(-i+t)dt + \int_{-1}^1 f(ti+1)idt + \int_0^1 f(i+(1-t))(-1)dt + \int{-1}^1 f(-ti)(-i)dt$
$=\int_0^1 tdt + i \int_{-}^1 tdt + \int_0^1 (t-1)dt =2i$.

Je ne comprends pas le début de la solution, c’est-à-dire, la parametrisation. Sur quelle logique on a découpé les intervalles et c’est quoi la démarche en règle générale ?

Merci pour vos réponses.