Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Chloe75

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Proba

Bonjour,
Je galère sur un exercice depuis un moment et j’aimerais avoir un peu d’aide.
Voici son énoncé:

Soit $(X_n)$ et $(Y_n)$ des suites de v.a.
1. Soit $\phi$ une fonction uniformément continue. Supposons que $X_n$ (resp $Y_n$) converge en probabilité vers X (resp Y). Montrer alors que $\phi{(X_n,Y_n)}$ convergent en probabilité vers $\phi{(X,Y)}$;

2. Supposons ici que $|X_n| \leq C$ p.s. Montrer que $X_n$ converge en probabilité vers 0 si et seulement si $\mathbb{E}|X_n|$ tend vers 0;

3. Supposons ici que $\phi$ est une fonction bornée. Montrer que si $X_n$ converge en probabilité vers $c \in \mathbb{R}$ alors $\mathbb{E}[\phi{(X_n)}]$ converge vers $\phi(c)$;

4. En utilisant des v.a $X_n$ i.i.d. de la loi uniforme, la loi faible des grands nombres et ce qui précède, montrer que $lim_{n\to+\infty}\int_0^{1}...\int_0^{1} \frac{\phi(x_1)+...+\phi(x_n)}{\gamma(x_1)+...+\gamma(x_n)} dx_1 ...dx_n = \frac{\int_0^{1}\phi(x)dx}{\int_0^{1}\gamma(x)dx}$ où $\phi$ et $\gamma$ sont des fonctions continues et strictement positives.

Merci d’avance pour votre aide.

Chloé

Fred

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Re : Proba

Bonjour,

  Tu ne précises pas le domaine de définition de $\phi$. Est-ce une fonction de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$?

F.

Chloe75

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Re : Proba

Désolé,oui dans tout l’exercice la fonction est de $\mathbb{R^2}$ dans $\mathbb{R}$, pour $\phi$ et $\gamma$.

Chloé

Fred

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Re : Proba

Re-

  Pour la question 1, tu commences par fixer $\varepsilon>0$.
Tu veux démontrer que $P( |\phi(X_n,Y_n)-\phi(X,Y)|\geq\varepsilon)\to 0$.
Par uniforme continuité de $\phi$, tu sais qu'il existe $\eta>0$ tel que
$ |x-x_0|<\eta\textrm{ et }|y-y_0|<\eta\implies |\phi(x,y)-\phi(x_0,y_0)|<\varepsilon$.

En utilisant ceci pour $x=X_n(\omega)$,...., tu dois pouvoir en déduire que l'événement
$\{ |\phi(X_n,Y_n)-\phi(X,Y)|\geq\varepsilon\}$ est inclus dans la réunion des événements
$\{ |X_n-X|\geq\eta\}\cup \{|Y_n-Y|\geq\eta\}$ et conclure en utilisant l'hypothèse.

F.

Chloe75

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Re : Proba

Merci pour cet éclaircissement sur la question 1.
Et pour la 2, comment puisse-je m’y prendre ?

Chloé

Dernière modification par Chloe75 (29-12-2020 10:48:02)

Fred

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Re : Proba

Il y a déjà une implication dans ton cours non?

Chloe75

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Re : Proba

J’ai une implication dans mon cours sur les convergences qui dit:
$X_n → X(p.s, n→∞) ⇒ X_n → X(P, n→∞)$.

Dernière modification par Chloe75 (30-12-2020 11:41:01)

Fred

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Re : Proba

Pour un sens (le sens réciproque)  tu peux utiliser l'inégalité de Markov. Pour l'autre sens il faut couper l'integrald en 2 : quand |X_n| est inferieur à epsilon et quand il lui est supérieur.

Chloe75

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Re : Proba

Merci Fred, je veux faire ça voir si je trouve.

Chloe75

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Re : Proba

J’ai essayé de faire ce que vous m’avez dit mais je pense faire un peu n’importe quoi, je m’embrouille un peu ... du coup j’ai abandonné cette question par contre pour la 3) j’ai fait ceci: $X_n \longrightarrow c (P, n \longrightarrow +\infty)$ i.e $\forall \epsilon >0$ $P(|X_n -c | > \epsilon) \longrightarrow 0 (P,n \longrightarrow +\infty$) Or $\phi$ est une fonction continue bornée donc $\phi$ est uniformément continue.
On écrit : $|E(\phi(X_n)-\phi(c)| \leq E(|\phi(X_n)-\phi(c)|)$$= E(|\phi(X_n)-\phi(c)|\mathbb{1}_{|X_n -c|< \sigma})+E(|\phi(X_n)-\phi(c)|\mathbb{1}_{|X_n -c| \geq \sigma}) \leq \epsilon + ||\phi||_\infty P(|X_n -c| \geq \sigma)$$\leq \epsilon + \epsilon’$ car $(X_n \longrightarrow c (n \longrightarrow +\infty)) = \epsilon ´´$
Donc pour n assez grand $E(\phi(X_n) \longrightarrow E(\phi(c)) (P, n \longrightarrow 0)=\phi (c)$.

Chloé

Fred

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Re : Proba

Re-

  Il y a plusieurs choses que je ne comprends pas dans ta rédaction, ou alors qui sont carrément faux.

* Il existe des fonctions continues bornées qui ne sont pas uniformément continues.
* Tu ne fais pas de lien entre $\sigma$ et $\varepsilon$, tu ne dis pas où ils vivent, comment tu les choisis, comment ils dépendent l'un de l'autre.

F.

Chloe75

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Re : Proba

J’ai commencé par définir mentalement une fonction f uniformément continue sur $\mathbb{R}$ pour guider mon raisonnement dessus. Donc dire que f est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ i.e pour $\epsilon >0$ donné, $\exists \sigma >0$ tq $|x-y|< \sigma \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$. Or dans l’énoncé de la 3) on a supposé que $\phi$ était continue bornée. D’où le sens de mon raisonnement.

Chloé

Fred

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Re : Proba

Je pense qu'ici tu n'as pas besoin de l'uniforme continuité de $\phi$, mais uniquement de la continuité de $\phi$ en $c$.

Chloe75

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Re : Proba

D’accord, merci