Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Chloe75

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Pb de Cauchy EDO

Bonjour,
J’ai un travail sur le pb de Cauchy que j’arrive pas à finir.
Voici l’énoncé:
Soient $\alpha \in \mathbb{R}$ et $f$ la fonction réelle définie par $f(u)=-u e^{\alpha u}ln(|u|)$ si $u \neq 0$ et $f(0)=0$. On considère pour $u_0 \in \mathbb{R^+}$ le problème (s) suivant: $u’(t)=f(u(t)), t \in \mathbb{R}$ et $u(0)=u_0$.
1) Montrer que le problème (s) admet une unique solution maximale, pour toute valeur initiale $u_0 \in ]0,+\infty[.$
2) On note (J,u) une solution maximale de (s).
Supposons que $u_0 \in ]0,1]$, montrer que la limite $u$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est égale à 1 puis Montrer que $u(J) \subset ]1,+\infty[$ pour $u_0 > 1$.
3) On suppose que $\alpha=0$, résoudre le système (s).

J’ai donc pu résoudre sans peine la 1) mais je bloque sur les deux derniers.

J’ai donc besoin de votre aide. Merci

Résolution:
1) la fonction $u \longrightarrow f(u)=-u e^{\alpha u} ln(|u|)$ définie sur $\mathbb{R}$ X $\mathbb{R^+}$ est de classe $C^1$ et ainsi est localement lipschizienne. Ceci implique que ce problème de Cauchy admet  une unique solution maximale.

Fred

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Re : Pb de Cauchy EDO

Bonjour,

  La question 2) est assez compliquée, car elle demande plusieurs étapes. Voici ce que je te suggère.

1. Démontrer que pour tout $t\in J$, $0\leq u(t)\leq 1$ (les fonctions nulle et identiquement égale à 1 sont solution du problème de Cauchy).
2. En déduire que $[0,+\infty[\subset J$.
3. Démontrer que $u$ est croissante sur $[0,+\infty[$ (conséquence de 1.)
4. En déduire que $u$ admet une limite $\ell\in ]0,1]$.
5. Observer que si $\ell\neq 1$, alors $u'$ admet une limite strictement positive en $+\infty$.
6. Conclure.

F.

Chloe75

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Re : Pb de Cauchy EDO

Bonjour Fred,
Merci pour ces indications. Je vais essayer de réfléchir en suivant ces étapes.
Merci.

Chloé