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#1 19-02-2021 01:06:42
- Chloe75
- Membre
- Inscription : 28-12-2020
- Messages : 20
calculDif
Bonjour à tous,
je viens solliciter votre aide sur un exercice qui me prend un peu la tête.
voici l'énoncé:
Soit $f : \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$. Notons $\Delta f =\frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}$ le laplacien de f et soit D un disque ouvert de $\mathbb{R^2}$. On notera $\partial D$ le bord de $D$.
On suppose qu'il existe m$_{0} \in D$ tel que $f(m_{0}) \geq f(m)$ pour tout m $\in \partial D.$
Montrer que si $\Delta f \geq 0$ sur $D$, alors $f(m) \leq sup_{m' \in \partial D}f(m')$ pour tout $m \in D$.
Indication : considérer la suite de fonctions $g_{p}(m)=f(m) + \frac{||m||^2}{p}$ avec $p \in \mathbb{N^*}$.
Dans un premier temps, j'ai voulu partir sur un raisonnement par absurde, sauf qu'à un moment donné j'étais bloquée sur mes arguments et je ne pouvais pas utiliser la suite de fonction qu'on me conseille en indication de l'exercice; alors j'ai pensé utiliser les arguments limite mais je vois pas trop comment m'y prendre non plus.
Merci pour vos retours.
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#2 19-02-2021 08:11:12
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : calculDif
Bonjour,
Je peux te proposer quelques questions intermédiaires :
1/ Montrer que pour tout $p$, la fonction $g_p$ atteint un maximum sur $\overline D$. On note $(x_p,y_p)$ un point où ce max est atteint.
2/ Montrer que si $(x_p,y_p) \in D$ alors $\displaystyle \frac{\partial^2 g_p}{\partial x^2}(x_p,y_p) \leq 0$ et $\displaystyle \frac{\partial^2 g_p}{\partial x^2}(x_p,y_p) \leq 0$.
3/ Quel est le signe de $\Delta g_p$ ? Déduire que $(x_p,y_p) \in \partial D$
4/ Passer à la limite dans l'inégalité $\forall (x,y)\in D \quad g_p(x,y) \leq g_p(x_p,y_p)$.
Dis nous si ça peut t'aider !
Roro.
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#4 19-02-2021 17:04:58
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : calculDif
Re-bonjour,
Je reprise ce que je te proposais :
D'abord montrer que le maximum des fonctions $g_p$ est atteint sur le bord du disque, puis passer à la limite sur $p$ pour en déduire que le maximum de $f$ est aussi atteint sur le bord, ce qui est ta question.
J'ai juste un peu détaillé dans mon post précédent.
Roro.
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