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Bonjour
soit la fonction $f(\eta)= A(1-\eta^{\theta})-B(1-\eta)-\ln(\eta)$, où $A, B, \eta >0$.
La question est de déterminer les conditions sur A, B et $\theta$ telle que $f(\eta)=0$ admet au moins une solution $0 < \eta < 1$.
On remarque tout d'abord que $f(1)=0$ et que la dérivée de $f$ en 1: $f'(1)=0$. On remarque aussi que $f(\eta)$ tend vers 0 lorsque $\eta$ tend vers $+\infty$.
Comment pouvons nous déduire de tout ceci les conditions sur A, B et $\theta$ pour que $f(\eta)=0$ admette au moins une solution $0<\eta<1$? Svp
Je vous remercie d'avance.

Bonjour,
j'ai besoin d'un esprit clair pour m'aider à résoudre ce problème.
on a le problème suivant constitué de deux équations et qu'on va nommé MainSys
posée sur $[0,T] \times [0,L] \times [0,H]$
$$
MainSys(v,u)=
\begin{cases}
\dfrac{\partial v}{\partial t}= \Delta v - \dfrac{\partial v}{\partial x} - v(x,0,t),\\
\dfrac{\partial u}{\partial t}= v(x,0,t)-u
\end{cases}
$$
On note $vk=v(x,0,t)$.
On remarque que pour calculer $v(x,y,t)$ et $u(x,y,t)$, on a besoin de $v(x,0,t)$ or qu'on est entrain de calculer $v(x,y,t)$
en même temps.
C'est pour ça qu'on peut penser à introduire un nouveau problème nommé extend qui nous done v à y-constant
et dont la formulation variationnelle est donnée par:
$$
\displaystyle\int_0^L \displaystyle\int_0^H dy(v) * dy(x) dx dy
$$
Du coup j'ai pensé à l'algorithme suivant:
1- dans MainSys, on note $v(x,0,t)=nith$ avec comme valeur initiale $nith=v0$
2- on résout MainSys qui nous donne une nouvelle valeur de v
3- on résout extend qui nous donne vk correspondant au v trouvé dans 2
puis on refait l'opération pour chaque t.
Question: est-ce qu'il nous faut une condition de convergence? Si oui laquelle?
Aussi je remarque qu'avec ce raisonnement, si on écrit
nith=v0;
vk=v0;
résoudre MainSys;
Résoudre extend;
nith=vk;
alors on remarque que les solutions de MainSys sont identiques aux solutions de extend.
Je n'arrive pas à comprendre où se situe l'erreur.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,
On considère le problème
\begin{equation}\label{1}
\dfrac{\partial u}{\partial t} - \Delta u - a(x,t) u = f(x,t),
\end{equation}
\begin{equation}\label{2}
u(x,0)=0,
\end{equation}
avec des conditions au bord périodique.

En multipliant la première équation par $u$ et en intégrant le produit en $x \in (0,1)^n$ et $t \in (0,T]$, on trouve pour tout $t \in (0,T]$:
\begin{equation}\label{3}
\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{(0,1)^n} u^2(t,x) dx + \displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} \nabla u \cdot \nabla u dx
= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{(0,1)^n} \psi(x) dx +
\end{equation}
$$
+ \displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} a(x,t) u^2(x,t) dx dt + \displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} f(x,t) u(x,t) dx dt
$$

\bigskip

En supposant que $a \in L_{q,r}(Q_T)$ et $f \in L_{q_1,r_1}(Q_T)$ où $Q_T = (0,1)^n \times (0,T]$, avec
$$
q \in (1,+\infty], \ r \in [1,+\infty), \ q_1 \in (1,2], \ r_1 \in [1,2),
$$
tels que
$$
\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{q}=1, \ \dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{q_1}= \dfrac{3}{2}
$$
où $L_{q,r}(Q_T)$ est l'espace muni de la norme
$$
||v||_{q,r,Q_T}= \left(\displaystyle\int_0^T \left(\displaystyle\int_{(0,1)^n)} |v(x,t)|^q dx\right)^{r/q} dt\right)^{1/r}
$$

est-ce qu'il est possible de majorer $|\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} a(x,t) u^2(x,t) dx dt$ par $||a||_{q,r,Q_T}$ et $||u||_{L^2(Q_T)}$? Et majorer $\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} f(x,t) u(x,t) dx dt$ par $||f||_{q_1,r_1,Q_T}$ et $||u||_{L^2(Q_T)}$?

Merci d'avance

Bonjour,
j'essaye de résoudre l'équation suivante en utilisant la méthode du facteur intégrant
$$
(x^2+1) y'+3x y = 6 x
$$
on pose $y(x_0)=y_0$. Je commence par diviser les deux membres de l'équation par $(x^2+1)$, ce qui nous donne
$$
y' + \dfrac{3x}{x^2+1}= \dfrac{6x}{x^2+1}
$$
puis le principe est de multiplier les deux membres par $\exp(\displaystyle\int_{x_0}^x \dfrac{3s}{s^2+1})$.
Mais quand on multiplie les deux membres de l'équation par $\exp(\dfrac{3}{2} \ln (x^2+1) - \dfrac{3}{2} \ln(x_0+1))$
On a
$$
\displaystyle\int _{x_0}^x \dfrac{3s}{s^2+1} = \dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{x_0}^x \dfrac{2 s}{s^2 +1} ds = \dfrac{3}{2} \ln (x^2+1) - \dfrac{3}{2} \ln(x_0+1)= -\dfrac{9}{4}(x_0^2+1)(x^2+1)$$, on obtient pas la méthode du facteur intégrant.
Où est le problème?

Cordialement

Bonjour
Je cherche à démontrer le résultat suivant: toute fonction $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ qui vérifie ceci: il existe un polynôme $P$ tel que: $|f(x)| \leq |P(x)|, \ \forall x \in \mathbb{R}^n$ est une distribution tempérée. Les polynômes eux mêmes sont des distributions tempérées.
Voici ce que j'ai essayé.
$f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ veut dire qu'il définie une distribution $T_f$ par: pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ on a
$$
<T_f,\varphi>= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \varphi(x) dx.
$$

On a
$$
|\langle T_f,\varphi\rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}} |
=
\Big|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \varphi(x) dx\Big| \leq \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} |P(x) \varphi(x)| dx.
$$
Pas d'idée pour finir la démonstration.
Merci d'avance.

Bonjour
j'ai une question bête
si $|u(t,x)| \leq C(t)$ où $C$ est une fonction de $t$ indépendante de $t$.
Est-ce que cela implique que $|\partial_{x_i} u(t,x)| \leq C(t)$?

Cordialement

Bonjour
soit $(t,x) \in \mathbb{R}^d \times [0,T]$ et soit une suite $u_n(t,x)$.
On a les hypothèses suivantes:
1. $u_n(t,x)$ converge uniformément vers $u_0(t,x)$
2. $\partial_{x_i} u_n(t,x)$ est uniformément convergente sur $[0,T] \times \mathbb{R}^d$.

Est-ce qu'il est possible de conclure que la limite uniforme de  $\partial_{x_i} u_n(t,x)$ est $\partial_{x_i} u_0(t,x)$?

Cordialement

Bonjour

On considère l'équation

\begin{equation}
\partial_t u(t,x)+ v(t,x) \cdot \nabla u(t,x)= \kappa \Delta u(t,x) + F(t,x,u(t,x)) \ \mbox{ dans } \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d,.......(1)
\end{equation}
avec la condition initiale
\begin{equation}
u(0,x)= u_0(x) \ \mbox{dans } \mathbb{R}^d,.....(2)
\end{equation}

où $v(t,x)$ est un vecteur de fonctions donné, et $F$ une fonction donnée, et $\kappa$ est une constante strictement positive.

On note $u^{[\kappa]}(t,x)$ la solution de l'équation (1).

On considère aussi l'équation de transport

\begin{equation}
\partial_t u(t,x) + v(t,x) \cdot \nabla u(t,x)= F(t,x,u(t,x)) \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d,.....(3)
\end{equation}

qui correspond à l'équation (1) dans le cas $\kappa=0$.

On note $u^{[0]}(t,x)$ la solution de l'équation (3).

L'objectif est de montrer que $u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa$ tend vers 0.

Pour ça, on commence par définir deux familles de solutions: on pose $\delta_n= \dfrac{1}{2^n}, \ n=1,2$ et on introduit la discrétisation en temps $t:$
$$
0=t_0^{[n]} < t_1^{[n]}< \ldots < t_{k-1}^{[n]} < t^{[n]}_k < ..., \ t^{[n]}_k = k \delta_n.
$$

Pour chaque $\kappa > 0$ et pour chaque $n$, on définit la fonction
\begin{equation}
\Theta_n{[\kappa]}(x)= \dfrac{1}{(4 \pi \delta_n \kappa)^{d/2}}
\exp(-\dfrac{|x|^2}{4 \delta_n \kappa}), \ x \in \mathbb{R}^d,.....(4)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[\kappa,n]}(t_0^{[n]},x)=u_0(x),......(5)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[\kappa,n]}(t^{[n]}_k,x)= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \Theta^{[\kappa]}_n(y) u^{[\kappa,n]} (t^{[n]}_{k-1},x-\delta_n v(t^{[n]}_k,x)+y) dy + \delta_n F(t^{[n]}_{k-1},x,u^{[\kappa,n]}(t^{[n]}_{k-1},x)), \ k=1,2,...(6)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[\kappa,n]} (t,x)= \dfrac{t_k^{[n]}-t}{\delta_n} u^{[\kappa,n]} (t^{[n]}_{k-1},x)
+ \dfrac{t-t^{[n]}_{k-1}}{\delta_n} u^{[\kappa,n]}(t^{[n]}_k,x), \ t^{[n]}_{k-1} \leq t \leq t^{[n]}_k.......(7)
\end{equation}

\textbf{On a montré que $u^{[\kappa,n]}(t,x)$ converge vers la solution $u^{[\kappa]}(t,x)$ de (1).}

\bigskip

Puis, on a définit une famille de solutions approximatives pour (3):

\begin{equation}
u^{[0,n]}(t^{[n]}_0,x)= u_0(x),......(8)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[0,n]}(t^{[n]}_k,x)=u^{[0,n]}(t^{[n]}_{k-1},x\delta_n v(t^{[n]}_k,x))
+ \delta_n F(t^{[n]}_{k-1},x,u^{[0,n]}(t^{[n]},x)), \ k=1,2,...(9)
\end{equation}

\begin{equation}
u^{[0,n]}(t,x)= \dfrac{t^{[n]}_k - t}{\delta_n} u^{[0,n]} (t^{[n]}_{k-1},x)
+ \dfrac{t-t^{[n]}_{k-1}}{\delta_n} u^{[0,n]}(t^[n]_k,x), \ t^{[n]}_{k-1} \leq t \leq t^{[n]}_k.....(10)
\end{equation}

On remarque que (9) est la limite naturelle de (6).

\textbf{On a montré que $u^{[0,n]}(t,x)$ converge vers la solution $u^{[0]}(t,x)$ de (3).}

\bigskip

La question est: comment montrer que $u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa$ tend vers 0? S'il vous plaît.

Merci d'avance.