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PlumeF

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Déterminer la base de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels

Bonjour,

Je suis bloquée sur un exercice et malgré toutes mes recherches, je n'arrive pas à trouver d'équivalent sur internet.

Énoncé

:

Soit l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré 7 au plus et soient W₁ et W₂ deux sous-espaces vectoriels de V définis par :

W₁ = Vect(x²-2 , x+3)

W₂ = Vect(x³-7x²+2x-1 , 3x²-2x-12)

Déterminer la dimension de la somme W₁ + W₂.

Dans mon cours, j'ai la formule suivante :

dim(W₁ + W₂) = dim(W₁) + dim(W₂) - dim(intersection de W₁ et W₂)

Il est assez simple de déduire les dimensions de W₁ et W₂, qui sont définis par leurs familles génératrices, mais comment calculer la dimension de l'intersection de W₁ et  W₂ ? Internet foisonne d'exemples dans Rn, et je vois la mécanique, mais je n'arrive pas du tout à transposer ça dans mon exemple avec des sous-espaces de l'ensemble des polynômes.

Quelqu'un saurait m'aiguiller sur les étapes à suivre ?

Merci beaucoup !

Eust_4che

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Re : Déterminer la base de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels

Bonjour PlumeF,

N'importe quel espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ de dimension fine $n$ s'identifie à l'espace $\mathbb{R}^n$, une fois une base choisie. Il te suffit donc de choisir une base dans ton espace vectoriel et de travailler avec $\mathbb{R}^n$, et ici, la base $(X^i)_{0 \leq i \leq 7}$ semble tout indiquée.

E.

Dernière modification par Eust_4che (20-07-2022 14:32:28)

PlumeF

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Re : Déterminer la base de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels

Bonjour Eust_4che,

Merci d'avoir répondu. Petite question, qu'entends-tu par "il suffit de choisir une base dans ton espace vectoriel et de travailler avec Rn" ?

Je ne connais pas cette manipulation, ça t'embêterait de me donner un exemple ?

Merci

Eust_4che

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Re : Déterminer la base de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels

Chaque espace vectoriel $E$ sur un corp $K$ admet une base $B$. Lorsque $B$ est une partie finie $\{ x_i \mid 1 \leq i \leq p \}$, cela permet d'écrire tout élément $u$ de $E$ comme une combinaison linéaire $u = \sum_{1 \leq i \leq p} \lambda_i x_i$. Comme la suite suite $(\lambda)_{1 \leq i \leq p}$ est unique, il est courant d'identifier $u$ à celle-ci et ne plus vraiment faire de différences entre $E$ et $K^p$. L'idée est que la suite et la base suffit pour retrouver le vecteur. Mais cela nécessite le choix d'une base $B$. Dans $\mathbb{R}_2[X]$, par exemple, le polynôme $X^2 + 3X + 2$ s'identifie au triplet $(2, 3, 1)$, si la base est $\{1, X, X^2 \}$ et au triplet $(1, 0, 0)$ si la base est $\{X^2 + 3X + 2, X, 1 \}$.

Pour revenir à l'exercice, on peut donc le traiter, par rapport à la base $1, X, X^2, ..., X^7$, comme si on cherchait l'intersection des espaces $F_1 = vect( (-2, 0, 1, ...) ; (3, 1, ....) )$ et $F_2 = vect((-1, 2, 7, 1, ...) ; (-12, -2, 3, ...))$.

Si cette manipulation paraît contre-intuitive au début (quelle drôle d'idée de prendre pour identique deux objets différents ?), je te conseille de bien faire la distinction. Ton exercice peut se traiter en dehors de $\mathbb{R}^n$. Il te suffit de revenir aux définitions et de déterminer l'intersection $W_1 \cap W_2$. Et avec un peu de pratiques d'algèbre linéaire, tu va très vite te rendre compte que, quels soit les objets, si l'espace vectoriel est de dimension $n$ sur $\mathbb{R}$, tu vas raisonner en utilisant des $n$-uplets.

E.

PlumeF

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Re : Déterminer la base de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels

Je te remercie Eust_4che c'est bien plus clair ainsi, j'ai pu déterminer que l'intersection de W1 et W2 est de dimension 1, et le tour était joué.