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Chaque espace vectoriel $E$ sur un corp $K$ admet une base $B$. Lorsque $B$ est une partie finie $\{ x_i \mid 1 \leq i \leq p \}$, cela permet d'écrire tout élément $u$ de $E$ comme une combinaison linéaire $u = \sum_{1 \leq i \leq p} \lambda_i x_i$. Comme la suite suite $(\lambda)_{1 \leq i \leq p}$ est unique, il est courant d'identifier $u$ à celle-ci et ne plus vraiment faire de différences entre $E$ et $K^p$. L'idée est que la suite et la base suffit pour retrouver le vecteur. Mais cela nécessite le choix d'une base $B$. Dans $\mathbb{R}_2[X]$, par exemple, le polynôme $X^2 + 3X + 2$ s'identifie au triplet $(2, 3, 1)$, si la base est $\{1, X, X^2 \}$ et au triplet $(1, 0, 0)$ si la base est $\{X^2 + 3X + 2, X, 1 \}$.

Pour revenir à l'exercice, on peut donc le traiter, par rapport à la base $1, X, X^2, ..., X^7$, comme si on cherchait l'intersection des espaces $F_1 = vect( (-2, 0, 1, ...) ; (3, 1, ....) )$ et $F_2 = vect((-1, 2, 7, 1, ...) ; (-12, -2, 3, ...))$.

Si cette manipulation paraît contre-intuitive au début (quelle drôle d'idée de prendre pour identique deux objets différents ?), je te conseille de bien faire la distinction. Ton exercice peut se traiter en dehors de $\mathbb{R}^n$. Il te suffit de revenir aux définitions et de déterminer l'intersection $W_1 \cap W_2$. Et avec un peu de pratiques d'algèbre linéaire, tu va très vite te rendre compte que, quels soit les objets, si l'espace vectoriel est de dimension $n$ sur $\mathbb{R}$, tu vas raisonner en utilisant des $n$-uplets.

E.

Bonjour PlumeF,

N'importe quel espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ de dimension fine $n$ s'identifie à l'espace $\mathbb{R}^n$, une fois une base choisie. Il te suffit donc de choisir une base dans ton espace vectoriel et de travailler avec $\mathbb{R}^n$, et ici, la base $(X^i)_{0 \leq i \leq 7}$ semble tout indiquée.

E.