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Waad293

Invité

Problème sur les séries entières

Bonsoir,
Je ne parviens pas à venir à bout de l'exercice suivant, pourriez vous m'apporter de l'aide ?
Merci beaucoup.

Soit [tex] a_n [/tex]une suite telle que [tex]a_n = o\left ( \frac{1}{n} \right )[/tex]
On suppose que [tex]\displaystyle \lim_{x \to 1} \left (\sum_{n=0}^{+\infty } (a_n x^n)\right ) = l[/tex]
Montrer que [tex]\sum\limits_{n=0}^{+\infty } (a_n) = l[/tex]

Waad293

Invité

Re : Problème sur les séries entières

Ps : Un oubli : la série entière de coefficients a_n est supposée avoir 1 pour rayon de convergence.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 802

Re : Problème sur les séries entières

Bonjour,

C'est une question de convergence sur le bord du disque de convergence... qui ne me semble pas évidente.
Il devrait y avoir des éléments de réponse en utilisant la transformation d'Abel ici : lien (théorème 3.1).

Il y a peut être beaucoup plus simple mais comme ça, je ne vois pas !

Roro.

Dernière modification par Roro (25-05-2022 07:20:28)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Problème sur les séries entières

Bonjour,

  Ce n'est pas du tout évident sans indications. Ce que tu veux démontrer est ce qu'on appelle un théorème de Tauber.
Si tu veux, il y a un énoncé plus détaillé sur cette page, je crois que c'est l'exercice 22.

F.