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Jane

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La médiane est la constante qui minimise l'erreur absolue

Bonjour,

Je cherche à montrer que la médiane $\bar{x}$ de $x_1,\dots,x_n$ est la constante qui minimise l'erreurs absolue suivante par rapport à $c$ :
$\sum_{i=1}^n|x_i-c|$.
Pour cela on suppose que n est pair et on nous donne l'indice suivant :
"Montrez que si $c<c_0$, alors $\sum_{i=1}^n|x_i-c_0| = \sum_{i=1}^n|x_i-c|+(c-c_0)(r-s)+2\sum_{x\in(x,x_0)}(c-x_i)$ avec $r=$ nombre de $x_i \geq c_0$, et $s=n-r$."
Mais je n'arrive pas à voir comment démontrer cette dernière égalité.

Merci par avance pour votre aide.

Roro

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Re : La médiane est la constante qui minimise l'erreur absolue

Bonsoir Jane,

Je te propose de décomposer ta somme de la façon suivante :
$$f(c_0) = \sum_{i=1}^n |x_i-c_0| = \sum_{i~;~x_i< c} |x_i-c_0| + \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} |x_i-c_0| + \sum_{i~;~x_i\geq c_0} |x_i-c_0|.$$
Si tu sais que $c<c_0$, selon les sommes, tu peux enlever les valeurs absolues (quitte à changer le signe) :
$$f(c_0) = \sum_{i~;~x_i< c} (c_0-x_i) + \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} (c_0-x_i) + \sum_{i~;~x_i\geq c_0} (x_i-c_0).$$
Tu peux faire la même chose avec l'autre somme :
$$f(c) = \sum_{i=1}^n |x_i-c| = \sum_{i~;~x_i< c} (c-x_i) + \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} (x_i-c) + \sum_{i~;~x_i\geq c_0} (x_i-c).$$
Tu peux remplacer $c_0-x_i$ par $(c_0-c)+(c-x_i)$ dans l'expression de $f(c_0)$ pour obtenir
$$f(c_0) = \Big( \alpha (c_0-c) + \sum_{i~;~x_i< c} (c-x_i) \Big) + \Big( \beta (c_0-c) + \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} (c-x_i) \Big) + \Big( \gamma (c-c_0)+ \sum_{i~;~x_i\geq c_0} (x_i-c) \Big),$$
où $\alpha$; $\beta$ et $\gamma$ correspondent aux nombre d'éléments dans chaque somme...

En regardant les expressions de $f(c_0)$ et $f(c)$, tu devrais retrouver ton résultat.

Roro.

Dernière modification par Roro (25-05-2022 06:40:35)

Jane

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Re : La médiane est la constante qui minimise l'erreur absolue

Merci beaucoup pour votre réponse j'ai réussi à trouver mon résultat !
Faut-il que je continue en dérivant $\sum_{i=1}^n|x_i-c|$ grâce à la formule donnée par l'indice et que je regarde quand cette dérivée s'annule pour obtenir mon résultat ? Ou est-ce que je passe à côté de quelque chose ?

Roro

Membre expert

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Re : La médiane est la constante qui minimise l'erreur absolue

Bonjour,

Il ne faut surtout pas dériver (avec des valeurs absolues, on évite). Le but de ce que tu as fait avant est justement d'éviter de dériver. Si je résume ce que tu as montré que "si $c<c_0$ alors $f(c_0) = f(c) + X$",

où $X = (c-c_0)(r-s) + \displaystyle 2 \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} (c-x_i).$

L'objectif est de montrer que, si $c_0$ est la médiane (hypothèse que tu n'as pas encore utilisée) alors $X\leq 0$. Tu auras donc montré que $f(c_0)\leq f(c)$. Le même raisonnement fonctionnera pour $c>c_0$ et tu auras ainsi prouvé que $c_0$ est le point où $f$ atteint son minimum.

Pour montrer que $X\leq 0$, tu peux facilement voir que les éléments de la sommes sont tous négatifs. Pour la quantité $(c-c_0)(r-s)$, il faut que tu comprennes ce que peuvent valoir $r$ et $s$ lorsque $c_0$ est la médiane...

Roro.

Dernière modification par Roro (25-05-2022 06:43:49)